4i
(C : z 2正向圆周)
(C为包含单(C位: z圆周1在正内向的) 任何一条正向简单闭曲线) 2
Note.利用待定系数法将被积函数分解成简单分式的和.
NUDT
练习题
Exercise1.
? 试问：
dz
?

dz
C1 3z 2 1 C2 3z 2 1
其中：C1是 z （4 正向圆周），
C

f (z)d z
z2 z1
f (z)dz
与连接起点与终点的路线无关.
D z1.
.z2 C2
C1
Note.实际上Cauchy-Goursat基本定理与定理1等价.
定义:变上限积分
z

f ( )d F(z)
z0
NUDT
§4 原函数与不定积分
定理2 如果函数 f (z)在单连通区
设 C : z z(t) x(t) iy(t) ( t )，则
C
f
(z) d
z



f
[ z(t )]z(t ) d t
什么是基本定理?
定理（Cauchy-Goursat基本定理）设函数 f (z) 在单连 通区域 D 内解析，C 为 D 内的闭曲线，则 f (z)在C上的 积分等于零，即
C2是以x 1, y 1为边的正向正方形。
---闭路变形原理/复合闭路定理
(1)将被积函数分解成简单分式
dz 1
dz
dz

C2 3z2 1 2
[
3
C2
z

3i
C2
z
]0 3i
3
3
(2)利用复合闭路定理与 (3)利用留数定理 Cauchy积分公式
NUDT
练习题
Exercise2.
提问: 函数满足什么条件下一定存在原函数? Note. 单连通区域内的解析函数
一定存在原函数且不唯一.
定义 把f (z)的原函数的一般表达式称为 f (z) 的不定积分.

f (z)dz F (z) C(C为任意的复常数 )
NUDT
§4 原函数与不定积分
牛顿-莱布尼兹公式
定理3 如果函数 f (z) 在单连通区域 D 内解析，G(z) 为 f (z) 在
z.
域 D 内解析，那么函数
F(z)

z
z0
f
( )d
在D 内解析，且
F(z) f (z) (z D).
D
C
z
.
0
Note.实际上该定理只需证得一个结论即可.
NUDT
定理2的证明
定理2 如果函数 f (z) 在单连通 区域 D内解析，那么函数
F(z) f (z) (z D).
单闭曲线，C1,C2,,Cn为 C 内的简单闭曲线，它们互不包
含也互不相交，并且以 C, C1,C2,,Cn 为边界的闭区域全
在 D 内.如果f (z) 在 D 内解析,则
n
蜒 (1)
f (z)d z
C k 1
f (z)d z
Ck
其中C及Ck均取正方向；
(2)Ñ f (z) d z 0.
闭路变形原理:在区域内的一个解析函数沿
闭曲线的积分,不因闭曲线在该区域内作连续 变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不 经过函数的不解析点。
庞加莱猜想:在一个三维空间中,假如每一条
封闭的曲线都能收缩成一点,那么这个空间一 定是一个三维的球体。
NUDT
§3 复合闭路定理
定理（复合闭路定理）设 C 为多连通区域D 内的一条简
z1 z0
f
(z)d z
G(z0)
NUDT
三个例题
积分技巧:分部积分法,降阶法,“凑”微分法,
换元积分法,有理函数积分法等等.
Example1.
试求:C dz ? (C 表示连接起点a和终点b的任一光滑曲线)

1 z
zz[ z
f
( )
f
( z )] d
1
z z
f ( ) f (z) d
z z
NUDT
§4 原函数与不定积分
定义 如果函数 (z) 在区域 D 内的导数等于f (z)，即
(z) f (z) (z D),
那么称 (z) 为 f (z) 在区域 D 内的原函数.
NUDT
第三章 复变函数的积分
§1 复变函数积分的概念 §2 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 §3 复合闭路定理 §4 原函数与不定积分 §5 柯西积分公式 §6 解析函数的高阶导数 §7 解析函数与调和函数的关系
NUDT
上次课主要内容的回顾
复积分的计算方法有哪些?
试求：C sin zdz ？ C：以原点为起点
沿 z 1 1的上半圆周以2为终点的圆弧。 y
0 试问在什么条件下积分将与路径无关?
2x
NUDT
§4 原函数与不定积分
再谈积分与路径无关的问题
Cauchy-Goursat基本定理
定理1 如果函数 f (z) 在单连通区
域 D 内解析，那么积分
..z z

z
.D z0
lim 1
z z
f ( )d
z0 z z
f
(z)
F(z)

lim
z0
F(z
z) z
F(z)

lim 1 [ zz
z0 z z0
f
( )d
z z0
f
( )d ]
F(z

z) z
F(z)

f
(z)
C C1 C2 L Cn
D
C1 C
C2
NUDT
例题
Example1.
C
z
dz z0
2?i
(C : z z0 r，正方向)
Note. 事实上C可推广到包含 z0点的正向简单闭曲线
该结果仍然成立.
? Example2.
ÑC
2z z2
Hale Waihona Puke 1dz zC f (z)d z 0.
Theorem2. If a function f is analytic at all points interior to and on a simple closed contour C, then
ÑC f (z)dz 0
NUDT
上次课主要内容的回顾
What is the principle of deformation of paths?
D 内的原函数，那么
z1 z0
f
(z)d
z

G(z1)

G( z0 ),
这里 z0, z1为区域 D 内的两点.
Proof. G(z) F (z) C0
D z0 .
. z1
(C0为某个复常数)
G(z0 ) F (z0 ) C0 C0
G(z1) F(z1) C0