定积分
2.定积分的定义
函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作____________，其中f (x )称为________________，x 称为________________，f (x )d x 称为__________， [a ，b ]为________________，a 为____________，b 为______________，“ʃ”称为积分号.
3.ʃb a f (x )d x 的实质
(1)当f (x )在区间[a ，b ]上大于0时，ʃb a f (x )d x 表示______________________________，
这也是定积分的几何意义.
(2)当f (x )在区间[a ，b ]上小于0时，ʃb a f (x )d x 表示________________________________.
(3)当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，ʃb a f (x )d x 表示介于x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间x 轴上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.
4.定积分的运算性质
(1)ʃb a kf (x )d x ＝____________ (k 为常数).
(2)ʃb a [f (x )±g (x )]d x ＝______________________.
(3)ʃb a f (x )d x ＝__________________________.
5.微积分基本定理
一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个
结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a .即ʃb a f (x )d x
＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ).
6.利用牛顿——莱布尼茨公式求定积分的关键是____________________，可将基本初等函数的导数公式逆向使用.
要点梳理
2. ʃb a f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间 积分下限 积分上限
3.(1)由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积 (2)由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数
4.(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f (x )d x ±ʃb a g (x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (a <c <b )
6.求被积函数的原函数
1.直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________.
2.求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为________.
3.ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.
4.由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为____.
5.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21
f (－x )d x 的值等于 ( ) A.56 B.12 C.23 D.16
1.π
2π2-⎰(sin x ＋cos x )d x 的值是
( ) A.0 B.π4 C.2 D.4
2.已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求
π2π2-⎰f (x )d x 的值，结果是
( ) A.16＋π2
B.π
C.1
D.0
3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]， 则ʃ20f (x )d x 等于 ( )
A.34
B.45
C.56
D.不存在
二、填空题 4.汽车以v ＝3t ＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是_____________ m.
5.曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为___________.
6.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为___________.
1.83
2.[0,2]
3.12
4.π
2
0⎰cos x d x －3π2π
2⎰cos x d x ＋2π3π2⎰cos x d x
5.A
A 组
1.C
2.B
3.C
4.6.5
5.32－ln 2
6.33。