§6.4.1 反三角函数(1)——反正弦函数
[教学过程]
一．反正弦函数的引入
1．回忆 sin y x =的图像及反函数的条件，可知sin ,y x x =∈R 不存在反函数 2．若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则sin y x =是单调函数，,x y 一一对应，故在,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
上sin y x =存在反函数
3．定义 ()sin ,,22f x x x ππ⎡⎤
=∈-⎢⎥⎣⎦
，其反函数()1arcsin f x x -=，称为反正弦函数
二．反正弦函数的图像
反函数的图像与原函数的图像关于y x =对称，即x 改y ，y 改x
三．根据解析式与图像研究反正弦函数的性质
sin ,,22y x x ππ⎡⎤
=∈-⎢⎥⎣⎦
[]arcsin ,1,1y x x =∈-
1．值域 []1,1y ∈-
,22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
2．奇偶性
奇函数（过原点）
奇函数（过原点）
3．单调性 增函数 增函数
4．周期性 非周期函数
非周期函数
5．()11arcsin sin arcsin 2
2
x x x x π
π
-≤≤⇒-≤≤
⇒=
6．()1sin 1arcsin sin 2
2
x x x x π
π
-≤≤
⇒-≤≤⇒=
arcsin 是反正弦的
符号，是一个整体
数形结合，从图像上看反正弦函数的性
质
()()1
f f x x x A -⎡⎤=∈⎣⎦()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦
三．例题与练习 例1 求值：
(1);(2)()arcsin 1-
;(3)arcsin ⎛ ⎝⎭
(4)()arcsin 0.5;(5)arcsin0;(6)()arcsin 0.72-≈;
(7)arcsin sin 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭;(8)5arcsin sin
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
; (8)()arcsin sin 3.49π
例2 用反正弦函数表示下列各式的:
(1)sin x =,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
(ii)[]0,2x π∈
(2)1sin 4x =-, (i),22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
(ii)[]0,2x π∈
(3)sin x =,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
(ii)[]0,2x π∈
例3 求下列函数的定义域和值域： (1)()3arcsin 21y x =-
;(2)6
y π
=+
y =-.
四．布置作业
注意的不同范围
()arcsin y f x =⎡⎤⎣⎦
()f x 定义域为A ，
由()11f x -≤≤得
B ，则D A
B =
x x
§6.4.2 反三角函数(2)——反余弦、反正切函数
[教学过程]
反余弦函数的定义、图像与性质
1．定义 函数[]cos ,0,y x x π=∈的反函数为[]arccos ,1,1y x x =∈-. 2．图像
3．性质 (1)定义域;(2)值域;(3)单调性;(4)奇偶性:非奇非偶; (5)()arccos 1π-=;arccos 02
π
=
;
arccos10=;arccos 0x ≥
(6) 当10x -<<时，arccos x 为钝角；当01x <<时，arccos x 为锐角; (7)()arccos arccos x x π-=-;
(8)()[]cos arccos ,1,1x x x =∈-;()arccos cos ,,22x x x ππ⎡⎤
=∈-⎢⎥⎣⎦
. 三．反正切函数的定义、图像和性质 1．定义 函数tan ,,22y x x ππ⎛⎫
=∈- ⎪⎝⎭
的反函数为arctan y x =,x ∈R 2．图像
arccos 2
y x π
=-、
arccos 2
y x π
=
-是
奇函数;
3．性质
(1)定义域x ∈R ;(2)值域,22y ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
;(3)单调性:增函数;(4)奇偶性:奇函数 (5)()tan arctan ,x x x =∈R ;()arctan tan ,,22x x x ππ⎛⎫
=∈- ⎪⎝⎭
; 四．例题与练习 例1 求下列各式的值:
(1)cos arccos ⎡⎤
⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦;
(2)sin arccos ⎡⎤
⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
(3)tan arccos ⎡⎤⎛
⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
(4)arccos cos 3π⎡⎤⎛⎫-
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. 例2 用反三角函数表示下列各角: (1)tan 3x = (i),22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭, (ii)3,22
x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,; (2)1tan 4x =- (i) ,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭, (ii)3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,; (3)1
cos 3
x =-
[]0,x π∈,. 例3 求下列函数的定义域和值域： (1)()2arccos 34y x =-+ (2)()23arccos 123
y x π
=
+- (3)
2
y π
=
()
1
arccos 2y x =
-
(5)()2
arcsin 1y x =+ (6)()
2arccos 1y x =
-
(7)y =
x ⎡∈⎣,0,
3y π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 五．布置作业
§6.4.3 反三角函数(3)——反三角函数习题课
一．反三角函数的图像与性质复习 arcsin y x =
arccos y x =
arctan y x = 图像
定义域 []1,1x ∈- []1,1x ∈- (),x ∈-∞+∞
值域 ,22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
[]0,y π∈
,22y ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数
减函数
增函数
()arcsin sin ,22x x x ππ=⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
()[]
arccos cos 0,x x x π=∈
()arctan tan ,22x x x ππ=⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
()[]
sin arcsin 1,1x x x =∈-
()[]
cos arccos 1,1x x x =∈-
()()
tan arctan ,x x x =∈-∞+∞
()arcsin arcsin x x -=- ()arccos arccos x x π-=- ()arctan arctan x x -=-
二．例题与练习 例1 证明：22arcsin arccos 332
π+=.
例2 已知[]4sin ,0,27
x x π=-∈，分别用反正弦、反余弦和反正切来表示x .
例3 计算：1sin 2arctan 4⎛⎫ ⎪⎝⎭
例4 解不等式：()arccos 1arccos x x -<.
例5 计算下列各值： （1）1sin arccos 3
3π⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣⎦；
（2）2cos arcsin 4
3π
⎛⎫-
⎪⎝⎭；
（3）3cos 2arcsin 4⎛⎫ ⎪⎝
⎭
. 三．布置作业。