第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1);解=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.(2);解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).(4).解=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4:41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);解逆序数为:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:(1);解(2);解. (3);解.(4).解=abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:(1)=(a-b)3;证明=(a-b)3.(2);证明.(3);证明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=x n+a1x n-1+⋅⋅⋅+a n-1x+a n.证明用数学归纳法证明.当n=2时,,命题成立.假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即D n-1=x n-1+a1x n-2+⋅⋅⋅+a n-2x+a n-1,则D n按第一列展开,有=xD n-1+a n=x n+a1x n-1+⋅⋅⋅+a n-1x+a n.因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det(a ij),把D上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得,,,证明,D3=D.证明因为D=det(a ij),所以.同理可证..7.计算下列各行列式(D k为k阶行列式):(1), 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;解(按第n行展开)=a n-a n-2=a n-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.(3);解根据第6题结果,有此行列式为范德蒙德行列式..(4);解(按第1行展开).再按最后一行展开得递推公式D2n=a n d n D2n-2-b n c n D2n-2,即D2n=(a n d n-b n c n)D2n-2.于是.而,所以.(5) D=det(a ij),其中a ij=|i-j|;解a ij=|i-j|,=(-1)n-1(n-1)2n-2.(6), 其中a1a2⋅⋅⋅a n≠0.解.8.用克莱姆法则解下列方程组:(1);解因为,,,,,所以,,,.(2).解因为,,,,,,所以,,,,.9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为.令D=0,得μ=0或λ=1.于是,当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.令D=0,得λ=0,λ=2或λ=3.于是,当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:,求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.解由已知,故,.2.已知两个线性变换,,求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.解由已知,所以有.3.设,,求3AB-2A及A T B.解,.4.计算下列乘积:(1);解.(2);解=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3);解. (4);解.(5);解=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3).5.设,,问:(1)AB=BA吗?解AB≠BA.因为,,所以AB≠BA.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?解(A+B)2≠A2+2AB+B2.因为,,但,所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?解(A+B)(A-B)≠A2-B2.因为,,,而,故(A+B)(A-B)≠A2-B2.6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0,则A=0;解取,则A2=0,但A≠0.(2)若A2=A,则A=0或A=E;解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.(3)若AX=AY,且A≠0,则X=Y.解取,,,则AX=AY,且A≠0,但X≠Y.7.设,求A2,A3,⋅⋅⋅,A k.解,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,.8.设,求A k.解首先观察,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,.用数学归纳法证明:当k=2时,显然成立.假设k时成立，则k+1时，,由数学归纳法原理知:.9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B T AB也是对称矩阵.证明因为A T=A,所以(B T AB)T=B T(B T A)T=B T A T B=B T AB,从而B T AB是对称矩阵.10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性:因为A T=A,B T=B,且AB=BA,所以(AB)T=(BA)T=A T B T=AB,即AB是对称矩阵.必要性:因为A T=A,B T=B,且(AB)T=AB,所以AB=(AB)T=B T A T=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵:(1);解. |A|=1,故A-1存在.因为,故.(2);解. |A|=1≠0,故A-1存在.因为,所以.(3);解. |A|=2≠0,故A-1存在.因为,所以.(4)(a1a2⋅⋅⋅a n≠0) .解,由对角矩阵的性质知.12.解下列矩阵方程:(1);解.(2);解.(3);解.(4).解.13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1);解方程组可表示为,故,从而有.(2).解方程组可表示为,故,故有.14.设A k=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1.证明因为A k=O,所以E-A k=E.又因为E-A k=(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1),所以(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1)=E,由定理2推论知(E-A)可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1.证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).另一方面,由A k=O,有E=(E-A)+(A-A2)+A2-⋅⋅⋅-A k-1+(A k-1-A k)=(E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1)(E-A),故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1,就有(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+⋅⋅⋅+A k-1.15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,即A(A-E)=2E,或,由定理2推论知A可逆,且.由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,或由定理2推论知(A+2E)可逆,且.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得|A2-A|=2,即|A||A-E|=2,故|A|≠0,所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.由A2-A-2E=O⇒A(A-E)=2E⇒A-1A(A-E)=2A-1E⇒,又由A2-A-2E=O⇒(A+2E)A-3(A+2E)=-4E⇒ (A+2E)(A-3E)=-4 E,所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,.16.设A为3阶矩阵,,求|(2A)-1-5A*|.解因为,所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时,有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A-1,所以(A*)-1=|A|-1A.又,所以(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n-1.证明(1)用反证法证明.假设|A*|≠0,则有A*(A*)-1=E,由此得A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O,所以A*=O,这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时,有|A*|=0.(2)由于,则AA*=|A|E,取行列式得到|A||A*|=|A|n.若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1;若|A|=0,由(1)知|A*|=0,此时命题也成立.因此|A*|=|A|n-1.19.设,AB=A+2B,求B.解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故.20.设,且AB+E=A2+B,求B.解由AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).因为,所以(A-E)可逆,从而.21.设A=diag(1,-2,1),A*BA=2BA-8E,求B.解由A*BA=2BA-8E得(A*-2E)BA=-8E,B=-8(A*-2E)-1A-1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1=-8(|A|E-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+A)-1=4[diag(2,-1,2)]-1=2diag(1,-2,1).22.已知矩阵A的伴随阵,且ABA-1=BA-1+3E,求B.解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.由ABA-1=BA-1+3E得AB=B+3A,B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A.23.设P-1AP=Λ,其中,,求A11.解由P-1AP=Λ,得A=PΛP-1,所以A11= A=PΛ11P-1.|P|=3,,,而,故.24.设AP=PΛ,其中,,求ϕ(A)=A8(5E-6A+A2).解ϕ(Λ)=Λ8(5E-6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1.25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.证明因为A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积,所以A-1(A+B)B-1可逆,即A-1+B-1可逆.(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.26.计算.解设,,, ,则,。