民乐一中2017—2017学年5月诊断考试高三数学（理科）试卷命题人：邵天平 樊永文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z 集合B A C U ⋂)(中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个2． 在复平面内，复数212iz i=-+的共轭复数的虚部为( ) A ．25 B ．25- C ．25i D ．25i -3. 若向量(cos ,sin )a θθ= ，1)b =-，则2a b - 的最大值为（ ）A ．4 B ．．2 D ．4. 在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名学优网志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有( ) 种A ．12种B ．18种C ．36种D ． 56种5．已知抛物线y 2＝2px （p>0）的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切，则p 的值为 ( )A.12B. 1C. 2D. 46. 已知(,)P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值( )A.2B.3C.5D.6 7.下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( )A ．4-B ．7-C ．10-D ．13- 8.设n m l ,,表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若α⊥l ，α⊥m ，则m l //； ②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，l m ⊥，则n m ⊥； ③若α⊂m ，n m //，则α//n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为 （ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①③④9. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 310.已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则132a a a +等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．411.已知双曲线C ：22221x y a b-=的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FH 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．26D ． 2 12.给出定义：若]21,21(+-∈m m x （其中m 为整数），则m 叫做实数x 的“亲密的整数”，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =在)1,0(∈x 上是增函数；②函数)(x f y =的图象关于直线)(2Z k k x ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期为1；④当]2,0(∈x 时，函数x x f x g ln )()(-=有两个零点。

其中正确命题的序号是（ ）A. ②③④B.① ②③C. ①②D. ②③第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰______． 14. 数列{}n a 的通项为(1)sin12n n n a n π=-⋅⋅+ 前n 项和为n S , 则100S =_________.15．二项式（1+sinx ）n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为 ． 16．下列结论中正确的是 ．① 函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x+1）=- f （x ），则函数y=f （x ）的图像关于直线x=1对称； ② 2~(16,),(17)0.35,(1516)0.15;N P P ξσξξ>=<<=已知若则 ③ ()(,),(,0]f x -∞+∞-∞已知是定义在上的偶函数且在上是增函数1.21(ln ),(log 3),(0.4),;43a fb fc f c a b -===<<设则 ④ 线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．三、解答题：（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.（Ⅰ）求B 的大小;（Ⅱ）若2a c +=，b =求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）现有4人去旅游，旅游地点有A 、B 两个地方可以选择。

但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A 地，掷出其他的数则去B 地；（1）求这4个人中恰好有1个人去A 地的概率；（2）求这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数的概率； （3）用X,Y 分别表示这4个人中去A 、B 两地的人数，记X Y ξ=⋅.求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ. 19．（本小题满分12分）如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．O为AB 的中点，OF EC ⊥． （Ⅰ）求证：OE FC ⊥；（Ⅱ）若二面角F CE B --的余弦值为13-时，求ACAB的值． 20．（本题满分12分）如图，已知圆2220G x y x +--=：经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 第19题图及上顶点B ，过椭圆外一点(,0)()m m a >且倾斜角为56π的直线l 交椭圆于,C D 两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数3f (x )aln x ax (a R )=--∈． （Ⅰ）若a =-1，求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）若函数y f (x )=的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45o ，对于任意的t ∈[1，2]，函数322mg(x )x x [f '(x )](f '(x )=++是f (x )的导函数）在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围； （Ⅲ）求证：23412234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )n n⨯⨯⨯⨯<≥∈。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，△ADC 的外 接圆交BC 于点E ，AB=2AC （I ）求证：BE=2AD ；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD 的长．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为4cos ,(2sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）。

（1）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于A ，B两点，求AOB ∆的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为2,x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），求曲线C 与直线l 的交点坐标。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 已知函数()|3|,()f x x a a R =-∈（I ）当a =1时，解不等式()5|21|;f x x >--（1I ）若存在000,()6x R f x x ∈+<使成立，求a 的取值范围．民乐一中2017—2017学年5月诊断考试高三数学（理科）答案一、 选择题：1.B2.A3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.B 10.B 11.D 12.A 二、 填空题：13、2314、150 15．566ππ或; 16．①②③三、 解答题：17.解：（Ⅰ）由2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=得：sin sin 2cos cos (1)1cos cos A CA C A C-= ………………………………………………………2分∴2(sin sin cos cos )1A C A C -=∴1cos()2A C +=-，………………………………………………………………………4分∴1cos 2B =，又0B π<< 3B π∴=……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==22()2122a c acb ac +--∴=， ………………………………………………………………8分又a c +=，b =27234ac ac ∴--=，54ac =……………………………10分115sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯=………………………………………………12分18. 依题意，这4个人中，每个人去A 地旅游的概率为13，去B 地的人数的概率为23设“这4个人中恰有i 人去A 地旅游”为事件01234i A =（i ，，，，） ∴4412()()()33i i i i P A C -=.---------------------------------------------2分（1）这4个人中恰有1人去A 地游戏的概率为113141232()()()3381P A C ==------------4分（2）设“这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数”为事件B ，则B=34A A ⋃，∴341()()()9P B P A P A =+=------------------------------------------8分（3）ξ的所有可能取值为0，3，4，0416117(0)()()818181P P A P A ξ==+=+= 1332840(3)()()818181P P A P A ξ==+=+=224(4)()81P P A ξ===------------------------------------------------------10分 ∴ξ的分布列是17402480348181813E ξ=⨯+⨯+⨯=--------------------------------------12分 19.20. 解：（Ⅰ）∵圆G：2220x y x +--=经过点F 、B ．∴F （2，0），B （0，，∴2=c，b = ------------3分∴212a =． 故椭圆的方程为221128x y +=． ------------5分（Ⅱ）设直线l 的方程为)6)((33>--=m m x y ．由221128()3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得2232(24)0x mx m -+-=．设),(11y x C ，),(22y x D ，则1223x x m +=，212243m x x -=， ------7分∴3)(331)](33[)](33[221212121m x x m x x m x m x y y ++-=--⋅--=．∵),2(11y x -=，),2(22y x -=，∴⋅=2121)2)(2(y y x x +-- 43)(3)6(3422121+++-=m x x m x x∵点F 在圆G 的外部，∴0FC FD ⋅>， -----------9分得2512600m m -->，解得m <或m >-----------10分 由0∆>，得236m <，解得66m -<<．又m >，6m <．∴6m <<． -----------12分21. 解：（Ⅰ）当1a =-时，(1)'() (0)x f x x x-=>， 解'()0f x >得),1(+∞∈x ；解'()0f x <得)1,0(∈x )(x f 的单调增区间为()+∞,1，减区间为()1,0 . （Ⅱ） ∵)0()1()('>-=x xx a x f ∴12)2('=-=a f 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x fx x m x x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g ，由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴9337-<<-m .（Ⅲ）证明如下： 由（Ⅰ）可知当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立． ∵2,≥∈N*n n ，则有1ln 0-<<n n ，∴nn n n 1ln 0-<<. ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈22.（Ⅰ）连接DE ,因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠ 又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆,即有,CADEBA BE = 又因为AC AB 2=，可得,2DE BE =因为CD 是ACB ∠的平分线，所以DE AD =, 从而AD BE 2=；………………………………5分 （Ⅱ）由条件知62==AC AB ，设t AD =， 则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅,即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ，解得23=t 或6-（舍去），则.23=AD ………………………10分23：（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为x 216＋y 24＝1，分别代入θ＝π4和θ＝－π4，得|OA|2＝|OB|2＝325，因∠AOB ＝π2，故△AOB 的面积S ＝12|OA||OB|＝165． ……………………5分（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得(t －)2＝0，∴t ＝，代入l 的参数方程，得x ＝，y ，所以曲线C 与直线l 的交点坐标为)．……………………10分24、【解】（Ⅰ）当1=a 时，不等式()>x f 125--x 可化为5123>-+-x x ， 当21<x 时，不等式即,31,5213-<∴>-+-x x x当321≤≤x 时，不等式即,3,5123>∴>-+-x x x 所以φ∈x ， 当3>x 时，不等式即3,5123>∴>-+-x x x ， 综上所述不等式的解集为13.3x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或………………………………5分（Ⅱ）令23,3,()()33,3,x a x a g x f x x x a x a x a -≥⎧=+=-+=⎨<⎩所以函数x x f x g +=)()(最小值为a 3，根据题意可得63<a ，即2<a ，所以a 的取值范围为)2,(-∞.…… ………………10分。