高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ⊆∈，有D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题：①函数xx f -=2)(为R 上的1高调函数；②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数；③如果定义域为),1[+∞-的函数2)(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞；④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数.其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时)(x f 的图像如图，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是（ ）A ．)3,2()1,0()2,3(ππ⋃⋃-- B ．)3,2()1,0()1,2(ππ⋃⋃--C ．)3,1()1,0()1,3(⋃⋃--D ．)3,1()1,0()2,3(⋃⋃--π4. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b ab 2sin 2sin log log ,22<>，bc a c b 3222+=+,若0<⋅BC AB ，则C B sin cos +的取值范围是（ ）A.)23,23(B.)23,23(-C.)3,23(D.)23,23(- 5. 复数()在坐标平面中对应的点分别是,若函数（为坐标原点），则下列命题正确的是（）A ．)(x f 最大值为2B ．)(x f 的图像向左平移4π个单位后对应的函数是奇函数 C ．)(x f y =的周期为π2D ．)(x f 的图像向左平移4π后对应函数图像关于0=x 对称 6.给出下列的四个式子：①b a -1，②b a +1，③a b +1，④ab-1；已知其中至少有两个式子的值与的值相等，则（ ）A ．θθ2sin ,2cos ==b aB ．θθ2cos ,2sin ==b aC ．2cos ,2sinθθ==b a D ．2sin ,2cos θθ==b a7. 已知集合{})(|),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈)(1,1，存在M y x ∈)(2,2，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1|),( ②{}2|),(-==xe y y x M③{}x y y x M cos |),(==④{}x y y x M ln |),(==其中所有“好集合”的序号是A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④ 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且＝(b －c ，cosC)，＝(a ，cosA)，，则cosA 的值等于（ ）9.已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有（ ）A ．4个B ．5个C ．6 个D ．7个10. 直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则（ ）A. B. C. D. 211.函数（ω＞0），在区间[a ，b]上是增函数，且，则函数在[a ，b]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M 12、下图展示了一个由区间到实数集R 的映射过程：区间中的实数x 对应轴上的点M （如图1）：将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针，如图2）：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在x 轴上，点A 的坐标为(1,0)（如图3），图3中直线OM 的斜率为k ，则x 的象就是k ，记作)(x f k =。

有下列判断：(1))(x f 是奇函数；(2) )(x f 是存在3个极值点的函数；(3) )(x f 的值域是；(4) )(x f 是区间上的增函数。

其中正确的是( )A 、(1)(2)B 、(1)(3)C 、(2)(3)D 、(1)(4)13.设. 若当时，恒成立，则实数M 的取值范围是（ ） A ．B.C ．D.14. 函数xx x x f sin 2cos 231sin )(---=)20(π≤≤x 的值域是( )A.]0,22[-B. ]0,1[-C. ]0,2[-D. ]0,3[- 15. 如图, l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线, l 1与l 2间的距离是1, l 2与l 3间的距离是2, 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上, 则△ABC 的边长是( )A.32B.364 C.4173 D. 3212 16.已知函数xxx f sin )(=，下列命题正确的是 .（写出所有正确命题的序号） ①)(x f 是奇函数； ②对定义域内任意x ，)(x f <1恒成立； ③当23π=x 时，)(x f 取得极小值； ④)3()2(f f >； ⑤当0>x 时，若方程k x f =)(有且仅有两个不同的实数解)(,βαβα>，则βαβsin cos -=.17.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是___.18.给出以下四个命题： ①已知命题；命题则命题是真命题；②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是；③函数在定义域内有且只有一个零点；④若直线和直线垂直，则角其中正确命题的序号为______．（把你认为正确的命题序号都填上） 19.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：①; ②；③;④;其中是一阶格点函数的有_______.20. 已知函数)(11sin )(R x x x x x f ∈++-=的最大值为M ，最小值为m ，则M+m 的值_______. 21. 在△中，角的对边分别为，已知，且，则△的面积的最大值为________.22.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且c A b B a 21cos cos =-，当)tan(B A -取最大值时,角C 的值为 .23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为 .24.满足条件AB=2, AC=BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 .25. 在△ABC 中, D 为边BC 上一点,CD BD 21=， ∠ADB=120°, AD=2. 若△ADC 的面积为3-, 则∠BAC= .26.在△ABC 中, B=60°, AC=, 则AB+2BC 的最大值为 .27. 已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f ，)3()6(ππf f =，且f(x) 在区间)3,6(ππ内有最小值, 无最大值, 则ω= .28. 在中角的对边分别为且，（1）判断的形状；（2）求sinA+sinB 的取值范围；（3）若，试确定的取值范围.29. 在一个特定时段内, 以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域. 点E正北55海里处有一个雷达观测站A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B, 经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=, 0°<θ<90°) 且与点A相距10海里的位置C.(Ⅰ) 求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ;(Ⅱ) 若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由.答案1.A2.D3.B4. A5. D6. A7. B8. C9. B 10. B 11. C12. B 13.D 14.B15. D16.②④⑤①中，函数的定义域是，且，所以函数是偶函数，所以①不正确；②中，设，则，所以函数是增函数，所以，所以，所以当时，，即，又函数是偶函数，所以当时，，所以，综上所得，对定义域内任意x，<1恒成立，所以②正确；③中，由于，所以，所以不是的极值点，所以③不正确；④中，当时，，所以恒成立，所以函数在区间上是减函数，又,所以，所以④正确；⑤中，当时，，所以关于的方程即有且仅有两个不同的实数解，在同一坐标系中画出函数和函数的图象，如图所示，则这两个图象仅有两个交点，且右边的交点是直线与函数的图象相切的切点，所以是切点，并且切线斜率，所以切线方程是，又点在切线上，所以，即，所以⑤正确.17.，18. ①③19.③④20.221.22.23.(2-sin 2,1-cos 2)24.225.60°26.227.28.（1）∵，∴，----1分由正弦定理，得，∴，∴，----------2分又，∴，∴，∴即，∴，------------3分∴△ABC是直角三角形.------------------------------4分(2)由（1）知，∴=，---6分又，即的取值范围是.---------------------------8分(3)∵，∴，由正弦定理，得，-------------9分设=，则,∴，------------------------------------------10分∴，，设，，则恒成立，∴在上是减函数，∴的值域是，即，∴的取值范围为.----------------------------------12分29、(Ⅰ) 如图, AB=40, AC=10, ∠BAC=θ, sin θ=.由于0°<θ<90°,所以cos θ==.由余弦定理得BC==10.所以船的行驶速度为=15(海里/小时) .(Ⅱ) 解法一:如图所示, 以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是B(x1, y1) , C(x2, y2) , BC与x轴的交点为D.由题设有, x1=y1=AB=40,x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ) =30,y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ) =20.所以过点B、C的直线l的斜率k==2,直线l的方程为y=2x-40.又点E(0, -55) 到直线l的距离d==3<7.所以船会进入警戒水域.解法二:如图所示, 设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中, 由余弦定理得cos∠ABC===.从而sin∠ABC===.在△ABQ中, 由正弦定理得,AQ===40.由于AE=55>40=AQ, 所以点Q位于点A和点E之间, 且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP⊥BC 于点P, 则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中, PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC) =15×=3<7.所以船会进入警戒水域.37.(Ⅰ) f '(x) ==.当2kπ-<x<2kπ+(k∈Z) 时,cos x>-, 即f '(x) >0;当2kπ+<x<2kπ+(k∈Z) 时,cos x<-, 即f '(x) <0. 因此f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是增函数, f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是减函数.。