2009级数学分析（1）期末复习 第一部 各章内容基本要求第一章 实数集与函数1. 熟练掌握绝对值的三角不等式；理解实数的完备性、有理数的稠密性。

2. 熟练掌握有界集、无界集的概念；掌握上、下确界的概念及其等价刻画，明白上、下确界与最大、最小值的联系与区别；理解确界原理。

3. 掌握邻域、空心邻域的概念。

4. 掌握函数的概念及其表示方法；明白函数与其反函数的关系；理解函数是一种对应关系，函数未必都能画出图像；熟悉一些特殊函数取整函数、Dirichlet 函数、符号函数及其表示。

5. 掌握基本初等函数与初等函数的概念。

6. 掌握函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性，理解周期的概念。

例1. 分别求 121|1,2,3,...,[0,1]S n S n ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭的上、下确界，并证明之。

例2. 求集合(){}|0,1Sx x =∈是无理数的上、下确界，并证明之。

例3. 对任一实数集S ，证明 sup S = sup {S ⋃ {sup S}}。

例4. 证明，任何函数 f 都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。

第二章 数列极限1. 掌握数列极限的 ε-N 定义及其几何意义，明白极限是一种趋势，它与数列的任何有限多项无关（其任一子列都收敛且有同一极限）。

2. 掌握数列收敛性与有界性的关系。

3. 掌握收敛数列的极限唯一性、数列有界性、保号性、保序性。

4. 掌握单调有界收敛准则，两边夹定理，Cauchy 收敛准则，子列收敛判别法。

5. 掌握极限四则运算性质，掌握一些常见的以0为极限的收敛数列1ln 1,,,,,kn n n n n q n n a aαα其中 0,||1,||1,q a k N α><>∈，懂得适时变形，并能熟练运用之。

例5. 用ε-N 语言证明 22011lim02010n n n π→∞+=-。

例6. 证明，若lim 0n n a a →∞=>，则存在N > 0, 使得对 任意 n > N 有 ,22n a a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭。

例7. 证明，若 inf S ∉ S, 则存在数列 x n ∈ S ，使得（1） x n 单调递减；（2）lim inf n n x S →∞= 。

例8. 证明，若数列 { x n } 从某项开始恒满足 | x n - x n-1 | < 1/n 2, 则数列 { x n }收敛【cauchy 准则】。

例9.求2lim n n →∞++。

【两边夹定理】例10. 若1(2,2)x ∈-,11,2,3,...n x n +==.证明:数列}{n x 收敛，并求其极限。

【单调有界收敛定理】第三章 函数极限1. 掌握函数极限的 ε-δ定义、ε- M 定义及其几何刻画，明白极限是一种趋势，它与函数在指定点的函数值无关。

2. 掌握函数左、右极限的定义及其与函数极限的关系，会用它判别分段函数在分段点处的极限存在性。

3. 掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。

4. 掌握函数极限存在的两边夹定理，Cauchy 收敛准则以及归结原则，掌握单调有界函数的左右极限存在性准则。

5. 掌握无穷大量、无穷小量的概念、性质及其阶（同阶、高阶、等价），理解无穷小量与有界量乘积还是无穷小量；明白无穷大量与无界量的联系与区别；掌握等价无穷大量、无穷小量代换定理。

6. 掌握两个重要极限及其变形，熟记当x → 0时如下几个常用等价无穷小量：sin x ~x , e x – 1 ~ x , ln(1+ x ) ~ x , 1– cos x ~ x 2/2, tan x ~ x , arcsin x ~ x , arctan x ~ x .7. 掌握极限四则运算性质、复合函数极限法则。

8. 会用极限四则运算性质、复合函数极限法则、两个重要极限以及等价无穷小量代换定理计算各种极限，尤其是不定式极限（00,,0,,1,00∞∞∞∞-∞∞）。

9. 理解渐近线的概念及其含义，会求三种不同的渐近线。

例11. 用ε-δ语言证明 ()22lim13x x→-=。

例12. 已知()21,0sin ln(1)()0,0tan arcsin ,0.2(1cos )x e x x x f x x x x x x ⎧-⎪>⎪+⎪==⎨⎪⎪<-⎪⎩求0lim()x f x →。

例13. 求22221cos sin (ln )lim .20112012x x x x x x x x →∞+++- 例14. 求()21/0limcos .x x x →例15.求3x →例16.求12lim .1x x →⎛ -⎝例17. 求下列曲线的渐近线：（1）321x y x x+=-; (2) y =- 第四章 函数的连续性1. 掌握连续函数的概念及其四则运算、复合运算性质；理解初等函数的连续性；理解左、右连续与函数连续的关系，会用它判别分段函数在分段点处的连续性。

2. 掌握间断点的概念及其分类，会判断一些特殊函数或分段函数的间断点类别。

3. 掌握连续函数的局部有界性、局部保号性。

4. 掌握函数在区间上一致连续的概念，会证明函数的一致连续性和非一致连续性。

5. 理解有界闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性。

例18. 分别求函数 ||/y x x =与Dirichlet 函数D(x )的间断点及其类别. 例19. 求函数11sin y x x=的间断点，并指出其类别。

例20. 求a ，b 的值，使得函数sin ,0ln(1)()0,0,0.x ax xx x f x x x ⎧+>⎪+⎪⎪==⎨⎪<为( - 2π, 2π)上的连续函数。

例21. 证明函数()f x x α=当α > 1 时在 [ 0, +∞ ) 上不一致连续；当0 < α ≤ 1 时在 [ 0, +∞ ) 上一致连续。

例22. 设函数f , g 都在区间I （有界或无界区间）一致连续且有界，则函数fg 在区间I 一致连续。

例23. 设函数f , g 都在有界闭区间 [a , b ] 连续，并且满足 ([,])([,])f a b g a b ⊂，则对任意点122011,,...,[,]x x x a b ∈，必存在至少一点[,]a b ξ∈使得20111()2011().jj f x g ξ==∑例24. 设函数f 在有界闭区间 [a , b ] 连续，并且满足([,])[,]f a b a b ⊂，则必存在至少一点[,]a b ξ∈使得().f ξξ=例25. 设函数f 在某有界闭区间有定义，且在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数，求证：f 不是连续函数。

第五章 导数和微分1. 掌握导数与微分的概念，理解其实质及意义、联系与区别；清楚函数在一点处的可导性、连续性、极限存在性及有界性的关系；掌握左、右导数的概念及其与函数可导性的关系，并会用左、右导数判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。

2. 掌握函数导数的四则运算、复合运算、反函数的求导法则；熟记六种基本初等函数的导数；记住一些常见初等函数的导数公式；理解一阶微分形式的不变性。

3. 掌握含参量函数的一阶、二阶导数求法。

4. 掌握函数极值点、稳定点的定义及其关系；熟悉导函数的介值定理（Darboux 定理）。

5. 理解高阶导数与高阶微分的概念；掌握函数乘积的高阶导数计算公式（莱布尼茨公式）。

6. 理解导数的几何意义与物理意义，会利用导数求曲线的切线及法线方程；会求用参数表示的函数的一阶及二阶导数；会用微分进行简单的近似计算。

例26. 求下列函数的导函数与微分：（1）22(y x a x =+ （2）ln(y x =； （3）ln tan2xy =； （4）arcsin(sin cos )y x x =；（5）22arctan1x y x =-；（6）22x xy e-+=；（7）lny =（8）(n y x =； （9）(0)xy x x = , >；（10）2ln (0)2a y x a =+>。

例27. 求,,b a 使sin ,0,()ln(1),0.x x f x a x b x ≤⎧=⎨++>⎩于0x =可导.例28. 设函数1cos ,0()0,0m x x f x xx ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩（m 为正整数）． 试问：（1）m 等于何值时，()f x 在0x =连续；（2）m 等于何值时，()f x 在0x =可导； （3）m 等于何值时，'()f x 在0x =连续．例29. 求由参数方程(ln tan cos )2sin t x a t y a t⎧=+⎪⎨⎪=⎩决定的函数的导数. 例30. 求由下列参数方程决定的函数的二阶导数： （1）(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩；（2）'()'()()x f t y tf t f t =⎧⎨=-⎩．例31. 求下列函数的高阶导数： （1）2ln y x x =，求''y ；（2）sin(2)y x =，求'''y ；（3）22,x y x e =求()n y。

例32. 求下列曲线在指定点P 的切线方程和法线方程：（1）2,(2,1)4x y P =； （2）cos ,(0,1)y x P = ；（3）2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩，t = 0点P(1,0)． 第六章 微分中值定理及其应用1. 掌握洛尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件、结论及其含义与相互关系，能够灵活使用其解决一些存在性问题，证明一些不等式；理解这些定理条件的重要性和非必要性。

2. 掌握导数极限定理，并会用它判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。

3. 熟练掌握函数单调性的导数判别法，会据此计算函数的单调区间。

4. 熟练掌握函数极值的一、二阶导数判别法，能够熟练使用其解决一些应用性极值与最值问题；理解函数极值的高阶导数判别法。

5.熟练掌握求不定式极限的洛必达法则，能够用其解决不定式极限问题（00,,0,,1,00∞∞∞∞-∞∞）。

6. 掌握泰勒多项式的概念，掌握泰勒定理（泰勒公式），理解泰勒定理的思想，会求指定函数在指定点的泰勒展式，并写出其皮亚诺型余项和拉格朗日型余项，会用泰勒多项式逼近函数。

例33. 证明：方程20n x px qx r +++=（n ≥3为正整数，p , q , r ，为实数）当n 为偶数时至多有4个实根；当n 为奇数时至多有3个实根。

例34. 求证：n 次多项式最多有n 个实根。

例35. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）1,0;x e x x >+≠ （2）arcsin ,(0,1).x x x >∈ 例36. 设函数()f x 二阶可导且()0f x ''>, 利用Lagrange 中值定理证明:()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 例37. 应用函数的单调性证明下列不等式：（1）2ln(1),0;2x x x x x -<+<>（2）13, 1.x x>->例38. 确定下列函数的单调区间：（1）22ln ;y x x =- （2）21;x y x-= （3）22sin ;y x x =-例39. 求下列函数的极值：（1）ln(1);y x x =-+ （2）1;y x x=+ （3）331;y x x =-+ （4）21arccot ln(1).2y x x =++ 例40. 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值（1）3229121, [0,3];y x x x =-++ （2）232, [-10,10];y x x =-+例41. 给定长为l 的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大. 例42. 求下列待定型的极限： （1）0ln(1)lim;cos 1x x x x →+-- （2）0tan lim ;sin x x xx x →--（3）011lim ;1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭ （4）0ln cos lim ;ln cos x ax bx → （5）111lim ;ln 1x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭（6）lim()tan ;2x x x ππ→- （7）lim (,0);b ax x x a b e →+∞> （8）ln lim(b,c>0).c bx xx →+∞ 例43. 求下列函数的在指定点的指定阶数的泰勒展式，分别写出其皮亚诺型余项和拉格朗日型余项。