一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明........................ (3)（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)（三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5)（四）积分型泰勒公式 (6)（五）二元函数的泰勒公式 (7)三、泰勒公式的若干应用 (8)（一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor 公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。

在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。

在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。

并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。

定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。

1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()00()()!n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式，"()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- （3）称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数()0()!k f x k (1,2,,)k n =⋯称为Taylor 系数。

从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即()()00()()k k n f x T x =，1,2,,k n =⋯. （4） 证明：设()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-，现在只要证0()0()lim n x x nR x Q x →= 由关系式（4）可知，')000()()()0n n n n R x R x R x ==⋯==（ 并易知 '1)000()()()0n n n nQ x Q x Q x -==⋯==（，()0()!n n Q x n = 因为()0()n f x 存在，所以在点0x 的某邻域0()U x 内f 存在1n -阶导函数()f x 。

于是，当x U ο∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次， 得到000'(1)'(1)()()()()()()lim lim lim n n n n n x x x x x x n n nR x R x R x Q x Q x Q x --→→→==⋯= 0(1)(1)()0000()()()()(1)2()limn n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=-⋯-0(1)(1)()000()()1[()]!lim n n n x x f x f x f x n x x --→-=--0=()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，形如0(())n x x ο-的余项称为佩亚诺型余项，所以（2）式又称为带有皮亚诺型余项的Taylor 公式。

1.2 其次是带有拉格朗日型余项的Taylor 公式：若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，至少存在一点ξ∈(,)a b ，使得"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()(1)10000()()()()!(1)!n n n n f x f x x x x x n n +++-+-+ （1）证明：作辅助函数()'()()()[()()()()]!n n f t F t f x f t f t x t x t n =-+-+⋯+-1()()n G t x t +=- 所需证明的（1）式即为(1)00()()()(1)n f F x G x n ξ+=+！或(1)00()()()(1)n F x f G x n ξ+=+！不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在0[,]x x 上连续，在0(,)x x 内可导，且(1)'()()()!n n f t F t x t n +=--，'()(1)()0n G t n x t =-+-≠又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得'(1)00'00()()()()()()()()()(1)n F x F x F x F f G x G x G x G n ξξξ+-===-+！， 其中0(,)(,)x x a b ξ∈⊂。

它的余项为(1)100()()()()()(1)!n n n n f x R x f x T x x x n ++=-=-+00()x x x ξθ=+- (01)θ<<，()()()n n R x f x T x =-称为拉格朗日余项。

所以（1）式又称为带有拉格朗日型余项的Taylor 公式。

1.3 柯西型Taylor 公式：若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，使得"()'20000000()()()()()()()()2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- ()n R x + （5）(1)(1)0001()(())(1)()!n n n n R x f x x x x x n θθ++=+--- 证明：作辅助函数()'()()()[()()()()]!n n f t F t f x f t f t x t x t n =-+-+⋯+-()G t x t =-应用柯西中值定理可得，存在0(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使得'(1)01'0()()()()()()()()()!n nn n R x F x F x F x f x x G x G x G x n ξξ++--===- 令x ξθ=(01)θ<< 即可得到（5）式。

1.4 积分型Taylor 公式：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +的导数, 则当x 在(,)a b 内时, ()f x 可表示为0()x x -的一个n 次多项式与一个余项()n R x 之和:"()'20000000()())()()()()()2!!()(n n n f x f x f x x x x x x x R x n f x f x +-+-+⋯+-+=其中 1(1)1121()()nooxx x n n n n x x x x f x dx dx dx R +++=⋯⋯⎰⎰⎰证明：由Newton Leibniz -公式得：0'011)()()(xx f x dx f x f x =-⎰即 0'011)()()(xx f x dx f x f x +=⎰1''022)"()()(x x f x dx f x f x +=⎰2""'''033)()()(x x f x dx f x f x +=⎰……0()()(1)011)()()(nx n n n n n x f x dx f x f x ++++=⎰从而有1''"01100221()()()()[()()]xxx x x x f x f x f x dx f x f x f x dx dx =+=++⎰⎰⎰100'"000221()()()()xx x x f x f x x x f x dx dx =+-+⎰⎰1200'"'''00003321()()()[()()]xx x x x x f x f x x x f x f x dx dx dx =+-++⎰⎰⎰12000"'2'''000003321()()()()()()2!x x x x x x f x f x f x x x x x f x dx dx dx =+-+-+⎰⎰⎰ ……"()'20000000()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-+⋯+-+！其中 1(1)1121()()nooxx x n n n n x x x x f x dx dx dx R +++=⋯⋯⎰⎰⎰1.5 二元函数的Taylor 公式：若函数f 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有直到1n +阶的连续偏导数，则对0()U p 内的任一点00(,)x h y k ++，存在相应的(0,1)θ∈，使得2000000001(,)(,)(+k )(,)(+k )(,)2!f x h y k f x y hf x y h f x y x y x y∂∂∂∂++=+++⋯+∂∂∂∂1000011(+k )(,)(+k )(,)!(1)!n n h f x y h f x h y k n x y n x yθθ+∂∂∂∂+++∂∂+∂∂ （6） （6）式称为二元函数f 在点0p 的n 阶Taylor 公式，其中0000(+k )(,)(,)m mm ii m i m i m i i h f x y C f x y h k x y x y θ--=∂∂∂=∂∂∂∂∑ 证明：作辅助函数 00,)()(th y tk t f x ++Φ=由定理的假设，一元函数()t Φ在[0,1]上满足一元函数Taylor 定理条件，于是有'"()(1)(0)(0)(0)()(1)(0)+1!2(1)!n n n n θ+ΦΦΦΦΦ=Φ+++⋯++！！ (01)θ<< （7） 应用复合函数求导法则，可求得()t Φ的各阶导数： ()00()()(,)m m t hk f x th y tk x y∂∂Φ=+++∂∂ (1,2,+1)m n =⋯当0t =时，则有 ()00(0)()(,)m m hk f x y x y∂∂Φ=+∂∂ (1,2,)m n =⋯ （8） 及 (1)100()()(,)n n hk f x h y k x yθθθ++∂∂Φ=+++∂∂ （9） 将（8），（9）式代入（7）式就得到了Taylor 公式（6）。