计算方法复习一、期末考试试题期末考试主要考核：●基本概念；●基本原理；●基本运算。

必须带简易计算器。

总成绩=平时成绩*30%+期末成绩*70%二、考核知识点、复习要求1 误差(一) 考核知识点●误差的来源类型；●绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；●绝对误差的传播。

(二) 复习要求1. 产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

2 方程求根(一) 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。

(二) 复习要求1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间 (a,b)有根的充分条件。

2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法迭代次数公式;掌握迭代法，知道其收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法。

掌握初始值的选择条件。

4. 收敛阶和收敛速度3 线性方程组的数值解法(一) 考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法,LU分解法；消去法消元能进行到底的条件;雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法。

(二) 复习要求1. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。

2. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。

3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，迭代解收敛性的充分条件。

4. Cond(A)的概念和性质4 函数插值与最小二乘法(一) 考核知识点●插值函数，插值多项式；●拉格朗日插值多项式;插值基函数；●牛顿插值多项式；差商表;●分段线性插值、线性插值基函数(二) 复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。

2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。

3. 掌握牛顿插值多项式的公式，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。

4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。

6. 了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，掌握法方程组的求法，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法。

5 数值积分与微分(一) 考核知识点●数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；●插值型求积公式，牛顿―科特茨求积公式，科特茨系数及其性质，●(复化)梯形求积公式，(复化)抛物线求积公式；●高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯――勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。

2. 了解牛顿科茨求积公式和科茨系数的性质。

熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)抛物线求积公式。

3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。

会用高斯勒让德求积公式求定积分的近似值。

4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。

6 常微分方程的数值解法(一) 考核知识点欧拉公式，梯形公式，改进欧拉法，局部截断误差；龙格―库塔法，局部截断误差。

(二) 复习要求1. 掌握欧拉法和改进的欧拉法(梯形公式、预报－校正公式和平均形式公式)，知道其局部截断误差。

2. 知道龙格库塔法的基本思想。

知道二阶、三阶龙格库塔法。

掌握四阶龙格――库塔法，知道龙格库塔法的局部截断误差。

三、重、难点分析例1 证明计算)0(>a a 的牛顿切线法迭代公式为：,1,0),(211=+=+n x ax x nn n并用它求2的近似值（求出1x 即可） 解(1) 因计算a 等于求02=-a x 正根，a x x f -=2)(，x x f 2)(='代入牛顿法迭代公式得)(21221nn n n n n x ax x a x x x +=--=+ ,1,0=n(2) 设2)(2-=x x f ，因,0121)1(2<-=-=f 025.1)5.1(2>-=f所以 []5.1,12*∈=x选5.10=x用上面导出的迭代公式计算得4167.11217)2(21001≈=+=x x x例2 用迭代法求0243=-+x x 的最小正根（求出2x 即可）。

解 （1）用迭代法因02)0(<-=f ，0125.0)5.0(>=f ，故[]5.0,0*∈x在[]5.0,0上将0243=-+x x ，同解变形为)()2(413x x x ϕ=-=则 [][]116343max)(max 25.0,05.0,0<=='=∈∈x x x x ϕρ取,5.00=x 应用迭代公式)2(4131n n x x -=+， ,1,0=n 计算得3215)812(411=-=x47425.0321524132≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x例3 用列主元消元法的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++53368435532321321321x x x x x x x x x 注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。

解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=++331351313168433232321x x x x x x x 第2列主35，元为交换第2、3方程位置后消元得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=++5252331356843332321x x x x x x回代解得 2,2,1123==-=x x x例4 将矩阵A 进行三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解）其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1332222224A 说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。

即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。

在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。

解：9,2;1,121,21;2,2,43322123132321321232312212222113131112121131312121111=-=-=-=-==-=-====-======r r r l a l r l a r r l a r a a l a a l a r a r a r则矩阵的Doolittle 分解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----911224122112111332222224因为对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=914D ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-111212111R D U所以矩阵的LDU 分解为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11121211914122112111332222224矩阵的Crout 分解为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111212119221241332222224 例5 用LU 分解求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5481332222224321x x x 注意：消元过程是解方程组b LY =，和回代过程是解方程组Y RX =。

解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----911224122112111332222224（2）解方程组9,0,8,321====y y y b LY （3）解方程组1,1,2,321====x x x Y RX所以 T X )1,1,2(=例6 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X 的三种常用范数。

解 3max ==∞i ix X，14,612211====∑∑==ni ini i xXx X例7 证明 ,1∞∞≤≤Xn X X证明 因为 11max X x x x Xni i p i i=<==∑=∞∞=≤=≤∑Xn x n x n x i ip ni i max 1所以 ,1∞∞≤≤Xn X X例8 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2212A ，求矩阵A 的三种常用范数。

解 4max 31==∑=∞j ij i a A，∑===ni ijjaA 114m ax，39)9)(4(36135228522822122122122===--=+-=--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=λλλλλλλλAI A A A A TT例9 已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式 （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛 （3）取5=a ,T X)101,51,101()0(=，求出)2(X 。

解 （1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1m x x a x x x a x x x a x m m m m m m m m m （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。

（3）取5=a ，T X)101,51,101()0(= 由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x 则 ）（2X=（25013， 258，25013）T例10 用高斯——塞德尔迭代法解方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434510*********x x x（1）证明高斯——塞德尔迭代法收敛 （2）写出高斯——塞德尔法迭代公式 （3）取TX）（）（0000=，求出）（2X解 （1）因为A 为严格对角占优矩阵，故高斯——塞德尔迭代收敛。

（2）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得高斯——塞德尔法迭代公式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=---=-=+++++ ,1,0,)4(51)3(51)4(51)1(2)13)(3)1(1)1(2)(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m （（3） 54)1(1=x ， 2519)1(2-=x ， 125119)1(3=x 125119)2(1=x ， 625613)2(2-=x ， 31251887)2(3=x 则）（2X=（125119， 625613-，31251887）T例11 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。

解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l故有565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(!2)()5(2ξξf f R ''-=--''=例12 已知函数)(x f 数数值表x1 2 3 y1 3 7用抛物插值法求近似值)8.1(f 。