________．
y ， 则 的 最 大 值 是 ________ ， 最 小 值 是 x
解析：由约束条件作出可行域 y (如图 5 所示)，目标函数 z＝x表示坐 标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由 图可知，点 C 与 O 连线斜率最大；B 与 O 连线斜率最小，又 B 点坐标为 5 9 (2，2)，C 点坐标为(1,6)，所以 kOB 9 y ＝ ，kOC＝6.故 的最大值为 6，最小 5 x 9 值为5.
迁移变式4
某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，
甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天
能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为 200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产 品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
再次调整最优解： 36－4x 令 4x＋3y＝36，即 y＝ ，代入约束条件①，②，可解 3 2 得 0≤x≤4(x∈N)． x＝0 时， 当 y＝12； x＝1 时， 当 y＝10 ； 3 1 2 当 x＝2 时，y＝93；当 x＝3 时，y＝8；当 x＝4 时，y＝63. 所以最优解为(0,12)和(3,8)，这时 zmax′＝36，zmax＝1800. 所以应隔出小房间 12 间或大房间 3 间、小房间 8 间，可以 获得最大收益．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线l0：x＋y＝0，平移l0， 当l0 过点A(2,0)时，z有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
下的
最大值或最小值
的问题．
4．可行解：满足线性约束条件的解(x、y)
由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ．
5．最优解：使目标函数取得 最大值或最小值 时 的 可 行 解． 6．通常最优解在可行域的 边界处或顶点处 取得．
1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几何意义
是 ( A．该直线的截距 B．该直线的纵截距 C．该直线的横截距 D．该直线的纵截距的相反数 )
第2课时
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
பைடு நூலகம்
析式是 线性目标函数 ，目标函数又是x、y的 一次 解析式．
3．线性规划问题：求线性目标函数在 线性约束 条 件
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
－4x＋3y＝12， 解方程组 4x＋3y＝36.
得 D 点坐标为(3,8)
∴zmax＝2x＋3y＝30 z 当直线经过可行域上的点 B 时，截距3最小，即 z 最 小．由已知得 B(－3，－4) ∴zmin＝2x＋3y＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18. (2)同理可求 zmax＝40，zmin＝－9.
解析：把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直线方程
的斜截式，所以z为该直线的纵截距．
答案：B
2．若
则目标函数z＝x＋2y的取值范围是
(
A．[2,6] C．[3,6] B．[2,5] D．[3,5]
)
解析：本题考查线性规划问题的图象解法．只需画出约束条 件对应的可行域，平移直线x＋2y＝0使之经过可行域，观察图形， 找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点，然后计算可得答 案．
x－y＝3， 解方程组 x＋y＝1，
得 B(2，－1)，
所以 zmax＝2×2－3×(－1)＝7. 所以 2x－3y 的取值范围是[－5,7]
x≥－3， y≥－4， [例 1] 设 x，y 满足约束条件 －4x＋3y≤12， 4x＋3y≤36.
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
[例3]
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若
目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值
范围为________．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①可行域已知；
②目标函数在(3,1)处取得最大值． 解答本题可利用逆向思维，数形结合求解．
[解]
作出直线 l：200x＋150y＝0，即直线 4x＋3y＝0.当 l 经过平移过可 20 60 行域上的点 A( ， )时，z 有最大值，由于 A 的坐标不是整数， 7 7 又因为 x，y∈N，所以 A 不是最优解． 调整最优解： 37－4x 由 x，y∈N，知 z′＝4x＋3y≤37，令 4x＋3y＝37，即 y＝ ， 3 5 代入约束条件①，②，可解得 ≤x≤2，由于 x∈N，得 x＝2，但此 2 25 时 y＝ ∉N. 3
[点评]
(1)中z并不是直线2x＋3y＝z在y轴的截距，而是截距
的3倍，因此，直线过点B时， 最小，z最小．
(2)中z并不是直线3x－y＝z在y轴的截距，而是截距的相反数， 过A(－3,0)截距最大而z值最小，注意不要搞反．
迁移变式1
设x，y满足
则z＝x＋y(
)
A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最大值，也无最小值
[分析]
把所求问题赋给相关的几何意义，即圆与斜率．
[解]
画出满足条件的可行域如图4所示，
(1)x2 ＋y2 ＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上
的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，
当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所 以umax＝73，umin＝0.
x－y＝0使之经过可行域，观察图形，找出动直线纵截距最大时和 最小时经过的点，然后计算可得答案． 答案：C
1 4．求 z＝ 3 x＋2y 的最大值，使式子中的 x、y 满足
y≤x， 1 x＋y≤1， 该问题中的不等式组叫做________，z＝3x＋2y y≥1.
叫做________．
x≥0 迁移变式 3 已知点 P(x， y)满足条件y≤x (k 2x＋y＋k≤0
为常数)，若 x＋3y 的最大值为 8，则 k＝________.
解：作出可行域如图 7 所示， 作直线 l0：x＋3y＝0， 平移 l0 知当 l0 过点 A 时，x＋3y 最大， k k 由于 A 点坐标为(－3，－3)． k ∴－3－k＝8，从而 k＝－6.
[例4]
某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类
房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每 名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每 名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房 间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满 客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
3．寻找整点最优解的方法
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过
或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点 最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整 点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较 求最优解． (2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方 程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
由约束条件画出可行域(如图6所示)，为矩形ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
解析：设需租赁甲种设备 x 台，乙种设备 y 台， 租赁费 z 元， 由题意得
5x＋6y≥50 10x＋20y≥140 ， x，y≥0且x，y∈N
z＝200x＋300y. 作出如图 9 所示的可行域．
令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．
又由 得A点坐标为(4,5)．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2300. 答案：2300
[分析]
求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画
平行线、解方程组、求最值．
[解] 作出可行域如图 2 (1)z＝2x＋3y 变形为 y＝－ x 3 z 2 ＋3，得到斜率为－3，在 y 轴上的截 z 距为3， z 变化的一族平行直线． 随 由 图可知， 当直线经过可行域上的点 D z 时，截距3最大，即 z 最大．
所表示的
平面区域(如图阴影部分所示)，即可行域． 画出直线 2x－3y＝0，并平移使之经过可行域，观察图形 可知，当直线经过点 A 时，直线的纵截距最大，此时 z 最 小．
x－y＝－1， 解方程组 x＋y＝5，
得 A(2,3)，
所以 zmin＝2×2－3×3＝－5. 当直线经过点 B 时， 直线的纵截距最小， 此时 z 最大．
解析：本题运用线性规划问题中的有关概念，即变量x，y的
一次不等式组称为问题的线性约束条件，研究最值的函数解析式