a
b2
最大公约数 相同字母最低次幂
步骤 一看系数 二看字母 三看指数
12a2b3－8a3b2－16ab4
练一练
找出下列各多项式中的公因式：
（1） 8x+64 8
提示：从公因式的
（2） 2ab2+ 4abc 2ab 系数，字母，字母的指数）
（3） m2n3 -3n2m3 m2n2
( 4) a2b-2ab2+ab ab
(4)15a2+10a=( 5a )( 3a+2 ) (5)12xyz－9x2y2=( 3xy )( 4z—3xy)
原式=x(3x2 ÷x-6xy ÷x+x ÷x)
=x(3x-6y+1)
•找出公因式 •提取公因式得 到 另一个因式
•写成积的形式
（2）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
2. 20042+2004能被2005整除吗? 3. 计算: 7652×17－2352 ×17
(1)2101+299能被5整除吗,为什么 转化为有一因式为5的倍数
(2)224-1能被63和65整除吗?
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
.规律总结
分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式的乘积 的形式. 3.要分解到不能分解为止.
解：原式= (24x3 12x228x ) 4x (24x3 ÷ 4x+12x2 ÷ 4x-28x ÷4x) = 4x (6x2+3x-7)
当多项式第一项系数 是负数，通常先提出 “－”号，使括号内 第一项系数变为正数， 注意括号内各项都要
变号.
方法二
（2）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
因式分解
(4) (a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(5) 2πR+ 2πr = 2π(R+r) 因式分解
下列从左到右的变形是分解因式的有( )
⑴ 6x2y=3xy·2x ⑵ a2－b2+1=(a+b)(a－b)+1 ⑶ a2－ab=a(a－b) ⑷ (x+3)(x－3)= x2－9
探索发现
因式分解：ma mb mc 解: ma mb mc m(a b c)
问:多项式中的公因式是如何确定的？
•多项式各项系数都是整数时,取 各项系数的最大公约数
•相同字母最低次幂
解:原式= 4ab2(8a3b2÷ 4ab2-12ab3c ÷ 4ab2) =4ab2(2a2-3bc)
如何检验
•找出公因式 •提取公因式得 到 另一个因式
•写成积的形式
因式分解:提公因式法 (1)ax+xy=( x )(a+y) (2)3mx-6my =( 3m )(x-2y) (3)x2y+xy2=( xy )( x+y )
原式=28x—24x3—12x2 =4ห้องสมุดไป่ตู้ (7 —6x2 —3x)
把下列各式分解因式:
(1) 24x3y－18x2y (2) 7ma+14ma2 (3) －16x4+32x3－56x2 (4) －7ab－14abx+49aby
例4 把2a(b+c)－3(b+c)分解因式.
试一试: (1)2a(y－z)－3b(y－z) (2)p(a2+b2)－q(a2+b2)
看谁算的快: 1、已知：a+b=5，a-b=3，求a2-b2的值。 2、已知：a+b=5，m-n=3， 求am-an+bm-bn的值.
请把下列多项式写成整式乘积的形式
(1)x2 x x(x 1)
(2)x2 1 (x 1)(x 1)
(3)ma+mb+mc= m(a+b+c)
把一个多项式化成几个整式积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分 解(或分解因式).
公因式
提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以
分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种 因式分解的方法，叫做提取公因式法。
试一试
因式分解: 12a2b3－8a3b2－16ab4
议一议 8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式 4
想一想:因式分解与整式乘法有何关系?
x2-y2 因式分解 (x+y)(x-y) 整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程
练一练“理解概念”
判断下列各式哪些是因式分解?为什么？
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
因式分解 整式乘法
(3) x2+4x+4=(x+2)2
(3)若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是 -6ab，那么另一 个因式是（D ） （A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y （C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y
(4)若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式,
则要提的公因式是 (a+b)x .
6x2y2(4x-3) 7ma(1+2a) xy(4x-y)
-8x2(2x2-4x+7)
-2mn(2m2n-3m+1)
课后练习
1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2. 若x=-3,求20x2-60x的值. 3. 1993-199能被200整除吗?还能被
哪些整数整除?
课后练习
4.若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
5.某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三位工人 共同完成，已知甲工人每天加工23个零件，乙 工人每天加工19个零件，丙工人每天加工18个 零件，三人需共同做12天才能做完，要加工的 零件共有多少？
小结
1、什么叫因式分解？
2、确定公因式的方法：
一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉 （3）多项式的首项取正号
试一试 拓展应用
1.先分解因式，再求值 4a2 (x 7) 3(x 7),其中a 5, x 3
课后练习
1.选择
1.多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（C ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C
2.分解-4x3+8x2+16x的结果是（ D ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）