第一章 函数习题 函数一、填空题：略.二、略.三、图略.四、图略；0，2，6-.五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同一个函数.六、3)2(log t y a +=.七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -====x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ；4. 12,ln ,cos ,22+-====x x w w v v u u y .第二章 极限与连续习题一 极限的概念一、判断题：略.二、图略；)(lim 0x f x →=0. 三、(1))(x f 无定义,2)1(=g ,3)1(=h ；(2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1=→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0=+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1x f x →不存在； （2）=-→)(lim 23x f x 49)(lim 23=+→x f x ；49)(lim 23=→x f x ； （3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2=+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在.习题二 极限的四则运算一、求下列极限1. 30；2. 17；3. 40；4. 41． 二、x x ++210；1．三、求下列极限1. 12-；2. 0；3. 4；4. 61．四、求下列极限 1. 32； 2. 32．五、1．六、1-．习题三 两个重要极限一、求下列极限1. 1；2. 16；3. 241；4. 1；5. 1；6. 8．二、求下列极限1. 3e ；2. 2e -；3. 9e ；4. 2e 1．习题四 无穷小与无穷大一、1. ∞→x ； 2. -→0x ．二、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ．三、1. 1-→x ； 2. 1→x ．四、求下列极限1. 0；2. 0．五、234sin x x 是比高阶的无穷小．六、提示：由极限运算及等价无穷小定义．习题五 函数的连续与间断一、选择题：略.二、2=a .三、1. 可去间断点是1=x ；2. 7-=x 为函数的第二类间断点；1=x 为函数的跳跃间断点.四、求下列极限1. 0；2. 21；3. 21； 4. 4. 五、(]4,1为函数的定义区间，即为函数的连续区间.第三章 导数与微分习题一 导数的定义一、1. 2)1(='f ；2. 43)2(-='f . 二、a y ='.三、0)0(='f .四、左导数 1)0(='+f ，右导数为 0)0(_='f ，函数在0=x 处的导数不存在.五、在（1，1）点处切线平行于直线.习题二 导数的四则运算一、填空题：略．二、求下列函数的导数 1. 2ln 354x x y +='； 2. )cos (sin e x x y x +='； 3. 3223351--+-='x xy ； 4. ]sin ln )1(cos )1ln 2[(cos 122x x x x x x x x xy ++++='； 5. 2211sec 3x x y --='；6. 221arctan 2x x x x y ++='． 三、① 定义域R 即为函数的连续区间；② x x x x x y cos sin 52d d 5253+=-；③ 由定义，0)0(='f ；④ x x x x x f cos sin 52)(5253+='-．习题三 复合函数求导一、填空题：略.二、求下列函数的导数1. 222cos sin 2sin 2sin x x x x x y +⋅='；2. ]1tan 2cos 2)1(1[sec e 222sin x x x x y x ⋅+-='； 3. 10199)1()1(200x x y -+='； 4. ]1sin 11[cos e 1cos x x x y x x +='； 5. x x xy 3cos 3sin 31-+='； 6. )ln(ln ln 21x x x y ='.三、)(2sin )(ϕ+=wt w t v ；)(2cos 2)(2ϕ+=wt w t a .四、)]()e (e )e ([e )(x f f f y x x x x f '+'='.习题四 隐函数 对数函数求导 高阶导数一、是非题：略．二、求下列方程所确定的隐函数)(x f y =的导数1. ()x xy y x x -+-='e sin e 1；2. x y y y x yx --='++e e ．三、用对数求导法求下列函数的导数1.41='y 4)3)(2()423()1)(1(3---+-x x x x x )312142341311(------++-x x x x x 2. )2ln 2(d d 2+=x x x yx ．四、切线方程为0=y ．五、求下列函数的二阶导数1. )49(1053+=''x x y ；2. x x y x cos 2e 1222--=''；3. 8)21(360x y -=''；4. =''y x 2sin 4006-．习题五微分 一、填空题：略.二、求下列函数的微分1. ()x x x x y d sin 1)cos 1(2d +-+=；2. x x x y x d )3cos 33sin 2(e d 2+=；3. x x xy d ln 21d 3-=； 4. x y x x d e 1e 3d 2613+++=.三、求方程所确定的隐函数)(x f y =的微分y d 1. x y x xy y xd cos 2e d 2--=； 2. x y a xb y d d 22-=.四、利用微分计算下列各数的近似值 1. 0033.101.13≈； 2. 21.1e 21.0≈.五、球的体积扩大约为3πcm 1800.第四章 微分学的应用习题一 洛必达法则一、是非题：略.二、求下列各式的极限1. 0；2. 1；3. 1；4. 0.三、求下列各式的极限1. 0；2. 0.四、求下列极限1. 0；2. 1；3. 1；4.21e -；5. 3；6. 0.习题二 函数的单调性一、单项选择题：略．二、求下列函数的单调区间1. 单增区间),2()0,(+∞-∞ ，单减区间)2,0(；2. 单增区间)0,(-∞，单减区间),0(+∞；3. 单增区间),21(+∞，单减区间)21,0(；4. 单增区间),0()1,(+∞--∞ ，单减区间)0,1(-．三、提示：利用函数单调性证明． 四、单调递增区间),21(+∞，单调递减区间)21,(-∞.习题三 函数的极值一、单项选择题：略．二、1.)(x f '； 2.)(x f ''； 3. 极小值； 4. 3)1(=f ．三、最大值为10)1(=-f ，最小值为22)3(-=f ．四、极大值为0)0(=f ，极小值为41)22()22(-==-f f ． 五、当直径r 2与高h 之比为11∶时，所用的材料最少．习题四 曲线的凹凸性与拐点一、填空题：略．二、曲线在)332,(--∞及),332(+∞上凹,在)332,332(-下凹，拐点为)910,332(--和)910,332(-． 三、函数在)2,0(上的极大值为2723)31(-=f ，极小值为1)1(-=f ；最大值为1)2(=f ，最小值为1)1(-=f ；拐点为)272532(-，. 四、示意图:第五章 不定积分习题一 不定积分的概念与基本公式一、填空题：略.二、选择题：略.三、计算下列不定积分1. C x +313133；2. C x x x+-53ln 533； 3. C x x x ++--ln 2sin 31；4. C x x x +++-πarcsin 2cos .四、求解下列各题1. C x x f x +='⎰2e 2d )(；2. x x f x 2sec e )(+=；3. 所求函数为233+-=x x y .习题二 不定积分的换元积分法一、填空题：略．二、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分 1. C x +--21； 2. C x +2arcsin 21； 3. C x x +++24arctan )1ln(41； 4. C x x ++3tan 31tan ； 5. ()()C x x ++-+1213223； 6. C x x +--3arccos 392．习题三 分部积分法 简单有理函数的积分一、填空题：略.二、多步填空题：略.三、求下列不定积分 1. ()C x x +-++11e 21； 2. C x x x x x ++--4ln )2(22；3. C x x x ++-e )22(2；4. C x x x +-+212)1(arcsin ； 5. C x x x ++-sin 2cos 2； 6. C x x +--3)2(ln 2.四、⎰''x f x x d )e (e 2C f f x x x +-'=)e ()e (e ．第六章 定积分习题一 定积分的概念 微积分基本公式一、选择题：略.二、求下列定积分 1. 43433-；2. 3424-；3. 2；4. 4π1-；5. 4；6. 61.三、解答下列各题1. x x x f 2sin )(4⋅='；2. 23d )(lim 200=⎰→x tt f xx ； 3. 67d )(21=⎰-x x f .习题二 定积分的换元积分法与分部积分法一、 填空题：略.二、 求下列定积分1. )e 2(2-；2. 32π2；3. )1e (412+；4. 12312π-+； 5. 49ln ； 6. 22a ； 7. )1e (212-π； 8. 3212ln -+.习题三 定积分的应用 一、32=S . 二、h r V 23π=.三、（1）2=S ；（2）2π2=V .四、两部分面积比为 )34π2(+:)34π2π8(--= )4π6(+:)4π18(-. 五、4π4r W ⋅=ρ.六、g P ρ18=.习题四 反常积分一、填空题：略．二、选择题：略．三、计算下列广义积分1. 21； 2. 2π． 四、⎰∞+∞-+x x xd 12发散．第七章 常微分方程习题一 常微分方程的基本概念与分离变量法一、判断正误：略.二、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解下列各题 1.C x y +=-3112（其中1C C -=为任意常数）；2. 冷却规律为kt t T -+=e 3020)(.习题二 一阶线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、通解为2e 1x C y -+=（其中C 为任意常数）．习题三 二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、求下列微分方程的通解1. =y xx C C -+e e 261；2. =y xx C C 521e )(+；3. =y )23sin 23cos (e 2121x C x C x +；4. =y x C 25e -．四、1e 2)(-==x y x f ．习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、x x x y e )9834(e 3613454+-++-=．四、求下列微分方程满足初始条件的特解（1）x x x y 22e )(-+=；（2）x y sin =．第八章 空间解析几何习题一 空间直角坐标系与向量的概念一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题 1. k j i AC AB 3223-+-=-；2. ()14=AB d ；3. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧939393,, 和 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---939393,,；4. ),,(002-C ．习题二 向量的点积与叉积一、是非题：略．二、填空题：略．三、选择题：略．三、求解下列各题 1. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±837833835,,；2. {}4,6,12-±=b ；3. 213S ABC =∆．习题三 平面和直线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. 534=++z y x ；2. 2=-y z ；3. 211211-=--=-z y x ； 4. ①5-=p ；②7=p ．习题四 曲面与空间曲线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解下列问题1. 方程为x z y 422=+，是旋转抛物面； 2. 投影方程为⎩⎨⎧==+;0,52x z y 3. 投影方程为⎩⎨⎧==++．0,0422y z x第九章 多元函数微分学习题一 多元函数及其极限一、填空题：略． 二、函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x ；草图 三、4142lim 00-=+-→→xy xy y x ． 四、表面积rh π2r πS 2⋅+⋅=，体积h r πV 2⋅=．五、)0,0(),(f y x f -∆∆=22)()())((y x y x ∆+∆∆∆．习题二 偏导数及高阶偏导数一、是非题：略．二、填空题：略．三、解下列各题 1. x x z 4=∂∂，29y y z=∂∂； 2. 34xy x z =∂∂，226y x y z=∂∂； 3. y x x z ln 2+=∂∂，y xy x y z =+=∂∂10，222=∂∂x z ，222y x y z -=∂∂，y x y z12=∂∂∂； 4. z y x f arctan =∂∂，z x y farctan =∂∂，21z xyz f +=∂∂．四、略．习题三 全微分一、填空题：略．二、解答下列各题1. y x x x x y z d ln d )1(ln d ++=；2. z z y y z x x x yx u y y d cos d )sin ln (d d 1+++=-；3. 119.0-=∆z ；4. 125.0d -=z ．三、01.003.0cos 01.0sin ≈．四、对角线变化约为m 045.0．五、所需水泥的近似值为3m 4.9．习题四 复合函数的偏导数一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、解下列各题 1. 1d d -=t z； 2. y z x z =∂∂，2)(y y x z y z +-=∂∂；3. )cos sin 2(cos 2x x x y xy x z+=∂∂，)2sin (cos sin 22y y y x x y z-=∂∂．习题五 偏导数的几何应用一、填空题：略．二、求解下列各题1. 切线方程为 312111-=-=-z y x 和27272913-=-=-z y x ；2. 切平面方程为 )3()1(4)1(2-+--+z y x =0；3. 切线方程为 1191161--=-=-z y x ，法平面方程为 0)1(1)1(9)1(16=---+-z y x ．习题六 多元函数的极值一、判断题：略．二、选择题：略．三、计算下列各题1. 函数在)1,2(点取得极小值24-；2. 当端面半径与半圆柱高满足2:1:=h r 时，所用材料最省．第十章 多元函数积分学习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略．二、填空题：略．三、计算下列各题1. 0=I ；2. ①⎰⎰==20202332d d x y y x I ；②332d d 40222==⎰⎰y x y y I ； 3. 21d e d 1002==⎰⎰y y x x y I ．习题二 极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用一、填空题：略．二、多步填空题提示：y x D y x d d e )(22⎰⎰+-θr D r d rd e 2⎰⎰-=⎰⎰π-=2010d e d 2r r θr ⎰⎰π-=20102)d(e 21d 2r θr θd )e 11(2120-=⎰π)e 11(π-=． 三、求解下列各题 1. π22d d )cos(22=+⎰⎰y x y x D ；（提示：化为极坐标下的二重积分）； 2. π32=V ；3. 薄片的质量为121． 第十一章 级数习题一 数项级数一、判断题：略．二、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. ∑∞=-1)1(n n 发散； 2. +++++n21614121发散； 3. ∑∞=+1)1(1n n x 当0>x 或2-<x 时收敛，当02≤≤-x 时发散；4. ∑∞=+1221n n n 收敛； 5. ∑∞=--112)1(n n n n 收敛； 6. ∑∞=-+13)1(2n n n收敛．习题二 幂级数一、填空题：略．二、求解下列各题1. 级数∑∞=+0122n n n x n 的收敛半径为21=R ； 2. 级数∑∞=++012122n n nx n 的收敛半径为22=R ； 3. 级数∑∞=-02)1(n n nn x 的收敛域为)3,1[-； 4. 级数∑∞=-011n n nx 的和函数为2)1(1)(x x S +=； 5. 级数 +-+++-123123n x x x n 的和函数为21)11ln()(x x x S -+=．习题三 函数的幂级数展开一、填空题：略.二、求解下列各题1. 展开为 ++-+-+-+=++)1()2()1(3)2(2)2(22ln )2ln(132n x x x x x n n ，收敛域为]2,2(-∈x ； 2.展开为 +-++⋅-⋅=+)!2(2)2()1(!42)2(!22)2(sin 21422n x x x x n n ，收敛域为),(+∞-∞∈x ；3. x 2= ++++++n x n x x xx n x x x !2)2(ln !32)2(ln !22)2(ln 2ln 213322，收敛区间为),(+∞-∞∈x ；4. 展开式为∑∑∞=∞=---=++002)2()1(21)1(231n n n n n n x x x x ，收敛区间为)1,1(-.。