一笔画攻略一．这篇文档是什么1.首先这篇文档是一篇一笔画游戏攻略。

文档详细叙述有关一笔画问题的解答方法和技巧。

不同于网上流行的一些一笔画攻略，每幅图都一步步的给出了连线步骤，而是力图带着读者进行一些思考，用抽象和归纳的方法，得出一些通用的结论和解答技巧。

2.这篇文档是作者的itunes store发布的应用程序的自我推广文档。

后面将给出链接，如果读者是iphone用户，并且喜欢该文档，可以下载使用。

当然你也可以通过阅读本文，领悟技巧，然后下载Android版本的一笔画游戏。

毕竟游戏内容和关卡都比较类似，但是我的游戏中融入了攻略以及互动关卡，在互动过程中，竖琴精灵会给予你启发，与本文思想完美融合，并且在出错的第一时间提示你应该注意的地方，并且支持及时撤销等操作。

二．这篇文档不是什么1.这篇文档不是一个填鸭式的游戏攻略，网上流行的攻略都是详细的操作步骤，这种所谓的攻略无法满足热衷于思考的读者。

2.这篇文档不是一篇单纯的广告，虽然我拟写文档的目的之一是为了推广自己的IOS应用，但更是凝结了我大量的尝试，思考和归纳。

作为致力于科研和教育事业的我，更希望读者在阅读过程中有所收获，至于读者是不是苹果用户，或者是否愿意消费购买，是其次的事情，如果你是越狱用户，也可以直接联系我，我会把无认证的app发给你。

3.这篇文档不是一篇有关拓扑学的文献，虽然作者本人，是从事科学研究工作，并致力于教育事业，对图论，离散数学，计算几何等相关学科略知一二，但是本文不是绝对的严格！的确文中引入了某些拓扑学的概念，也进行了一些逻辑推导，但立足点是针对游戏，某些推导是带有武断性的，它往往指引我们找到答案，但并非总是正确！三．目录1.欧拉生平简介2.柯尼斯堡七桥于拓扑学3.相关游戏链接推荐4.单线问题5.双线问题6.箭头(有向图)7.传送门8.结语数学家莱昂哈德·欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。

他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。

欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) （函数的定义由莱布尼兹在1694年给出）。

他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。

莱昂哈德·欧拉欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。

他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。

欧拉是一位数学神童。

他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。

欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。

欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。

在他生命的最后17年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。

莱昂哈德·欧拉欧拉曾任彼得堡科学院教授，柏林科学院的创始人之一。

他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。

他认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。

他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。

前者称为欧拉法，后者称为拉格朗日法。

欧拉奠定了理想流体的理论基础，给出了反映质量守恒的连续方程（1 752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。

同时是微积分和拓扑几何的先驱。

欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。

莱昂哈德·欧拉欧拉与拓扑几何欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等。

欧拉的专著和论文多达800多种。

人们为了纪念欧拉小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。

柯尼斯堡七桥问题欧拉时代的柯尼斯堡地图，显示了当时七座桥的实际位置。

河流和桥梁使用特别的颜色标记出来。

柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。

这个问题是基于一个现实生活中的事例：当时东普鲁士柯尼斯堡（今日俄罗斯加里宁格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。

小岛与河的两岸有七条桥连接。

在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？莱昂哈德·欧拉在1735年提出，并没有方法能圆满解决这个问题，他更在第二年发表在论文《柯尼斯堡的七桥》中，证明符合条件的走法并不存在，也顺带提出和解决了一笔画问题。

这篇论文在圣彼得堡科学院发表，成为图论史上第一篇重要文献。

欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。

这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数，这样的点称为偶顶点。

相对的，连有奇数条线的点称为奇顶点。

欧拉论述了，由于柯尼斯堡七桥问题中有4个奇顶点，它无法实现符合题意的遍历。

接下来我们学习下欧拉先生是如何分析问题的。

一．认识问题现实中的问题是复杂的，但是透过表面，忽略无关和次要因素，从而把问题简化。

城市地图二．问题的简化我们用几何化的图形来描述现实，得到了简化的示意图。

显然示意图上没有那么多无关的干扰。

简化的示意图三．问题的抽象把连通区域抽象成一个点（节点），而连接区域的桥，抽象成一条线（弧段）。

问题从喧嚣的城市中，展现在了纸上。

抽象的几何图形欧拉把问题的实质归于一笔画问题，即判断一个图是否能够遍历完所有的边而没有重复，而柯尼斯堡七桥问题则是一笔画问题的一个具体情境。

欧拉最后给出任意一种河—桥图能否全部走一次的判定法则，从而解决了“一笔画问题”。

对于一个给定的连通图，如果存在两个以上（不包括两个）奇顶点，那么满足要求的路线便不存在了，且有n个奇顶点的图至少需要n/2笔画出。

如果只有两个奇顶点，则可从其中任何一地出发完成一笔画。

若所有点均为偶顶点，则从任何一点出发，所求的路线都能实现，他还说明了怎样快速找到所要求的路线。

不少数学家都尝试去解析这类事例。

而这些解析，最后发展成为了数学中的图论。

相关游戏链接推荐接下来我们就要开始讨论正式的一笔画问题了，文档力求细致形象，但是纸上得来终觉浅，还是建议大家打开你的智能手机，下载一款游戏，结合本文论述，加以实践，下面推荐几个游戏连接。

1.一笔画精灵（当然先自荐了，适用于苹果用户ios5.0以上）链接：到itunes store搜索“一笔画精灵”或https:///us/app/yi-bi-hua-jing-ling/id702674203?ls=1&mt=8价格：0.99$简介：从画面，美工，到音乐都做了精美的设计（虽然本人从事科学研究，但对艺术设计，音乐也颇有了解），竖琴精灵的编写更是倾尽全力，互动式攻略，于本文讲解完美结合，会让你感到物有所值。

屏幕截图：以上分别为主界面，关卡中黄金世界以及竖琴精灵面板的截图。

这张竖琴logo花费了我两天半的时间，我希望设计出一个一笔画出，同时又简约美观，不失艺术性的图标，先后尝试过高脚杯，青花瓷，丹顶鹤等主题……连接：/down?aid=1604861&em=13价格：免费简介：画面简洁朴实，最早流行，下载量最多的版本，网上的攻略也都是针对这个版本的，游戏管卡众多，难度递增，无愧于最经典的版本，android用户首选。

屏幕截图：注：android系统下似乎盗版比较严重，我也不知道哪个是官方版本，毫无疑问有仿制版本，但是我们只选择做工最精美的，那么就用我推荐的链接吧，这些应用与作者本人无任何关系，只是在我尝试过的各个版本中做工更好一些而已！连接：到itunes store搜索“一笔画图”价格：免费简介：苹果用户的免费选择，兼容ios4.3,iphone5，类似于android 版本的，做工更偏卡通。

屏幕截图：4.精编一笔画/经典一笔画（适用于苹果用户）链接：到itunes store搜索相应名称价格：免费简介：这两个版本的做工都很华丽，前者接近手写效果，后者类似霓虹灯光效果，但是个人不是非常欣赏眼花缭乱的炫目效果。

5.一笔画攻略链接：/a/item?docid=3364823&pre=web_am_se&f=web_alad_5@next价格：免费简介：这是一款针对android版本的一笔画游戏攻略，与其说是攻略，不如说是一份参考答案。

上面有每一关的解题步骤，手把手叫你怎么破每一关，只要按照阿拉伯数字的次序行走，就可以得解。

屏幕截图：同时介绍几个攻略网站：/news/20120808/59501.html/zt/yibihua/这些网站内容大致一样，都是类似于这款游戏，用数字给每个步骤编号。

一下给出部分页面截图：说实话，我不建议去看这种攻略，我之所以给出这些链接，是希望读者经过思考之后，可以用这些给出详细步骤的攻略，来验证我们总结出的结论是否正确，亦或是什么情况下正确，还需要做哪些补充！以上是几个流行版本的一笔画游戏（当然严格说本人的那款还不流行），包括一款攻略游戏以及若干攻略网站，读者可以根据自己的手机系统以及，自己的偏好，选择一款。

（还是希望多多支持本人的作品）好接下来，我们正式进入主题！喂！放松心态，不是上数学课……一笔画我们已经拜读过欧拉前辈关于柯尼斯堡七桥问题的精彩解答，在我们开始之前，还是要认真思考下，我们从欧拉那里学到了什么？如果你仅仅是学到了一笔画的方法，那么你就没有领悟真谛。

我们即将面临更加复杂的一笔画问题，这些问题远比欧拉面对的问题复杂，然而欧拉留给我们最宝贵的东西，是一种思维方式，而非一个结论。

好了，让我们重温欧拉的精彩演绎，看看欧拉先生是如何对问题进行抽象的。

面对形形色色的复杂现实，我们要能够去伪存真，找出我们关心的事物，区域，河流，桥。

除此之外，城市，道路一切都是无关紧要的。

这样我们得到了精简的示意图，完成了简化。

原始城市地图现在看起来简明多了，然而仅仅经过简化是不够的，经过合理的抽象，观察河流把土地分成了几个独立的区域，而我们不关心区域的大小和形状，那不如我们把它们抽象成一个点吧，这样桥就是连接点之间的线。

去除无关因素这样一来问题变成了单纯的点和线之间的问题了，现在我们可以直接面对抽象的点和弧段来思考了，其中一个莫大的好处，抽象的事物，没有太多非本质事物的干扰，我们可以尽情发挥逻辑的威力。

抽象后的点线图是的，问题的转化与抽象才是欧拉演绎的精华所在，那么就让我们带着欧拉先生的寄托，开始新的征程吧。

欧拉先生演绎的结论指出，只要观察每个节点引出的弧段的数目，就能够判断是否能够一笔画出。

即当奇数点数目等于2或者0时，图形可以一笔画出。

1）奇点的奥秘我们要一笔画出来，那除了落笔和收笔点，中间的节点必然是有进有出，因此总是成对的，而只有在落笔和收笔的时候，形成奇数点！2）为什么没有奇点无论如何，总要落笔和收笔，而落笔和收笔，总会形成奇点，这么说不对吗？那为什么下面图形没有奇点呢？五角星心形沙漏确切说这句话没错，但是注意当收笔和落笔点重合的时候，奇点就会消失！那些没有奇点的图形是这样形成的最后留一个问题做思考，会不会只有一个奇点呢？3）当心孤岛现在我们清楚了为什么要从奇点出发了，然而这样就一定能成功了吗？我们还要注意哪些？是的，如果某一笔把图形分成了两个不连通的部分，那也就意味着我们已经不可能到达另一边了。