第二章建模方法论2.1 数学模型系统模型的表示方式有许多，而其中数学方式是系统模型的最主要的表示方式。

系统的数学模型是对系统与外部的作用关系及系统内在的运动规律所做的抽象，并将此抽象用数学的方式表示出来。

本节将讨论建立数学模型作用、数学模型与集合及抽象的关系、数学建模的形式化表示、数学模型的有效性与建模形式化、数学模型的分类等问题。

2.1.1 数学建模的作用1、提高认识通信、思考、理解三个层次。

首先，一个数学描述要提供一个准确的、易于理解的通信模式；除了具有清楚的通信模式外，在研究系统的各种不同问题或考虑选择假设时，需要一个相当规模的辅助思考过程；一旦模型被综合成为一组公理和定律时，这样的模型将使我们更好地认识现实世界的现象。

因此，可把现实世界的系统看成是由可观测和不可观测两部分组成。

2、提高决策能力管理、控制、设计三个层次。

管理是一种有限的干预方式，通过管理这种方式人们可以确定目标和决定行为的大致过程，但是这些策略无法制定得十分详细。

在控制这一层，动作与策略之间的关系是确定的，但是，由于控制中的动作仅限于在某个固定范围内进行选择，所以仍然限制了干预的范围。

在设计层，设计者可以在较大程度上进行选择、扩大或代替部分现有的现实，以满足设计者的希望。

因此，可把现实世界的系统看成是由可控制和不可控制两部分组成。

3---统实际系统不可观部分不可控部分可观部分 可控部分目标：提高认识 目标：提高干预能力图 2.2 根据目标建立系统2.1.2 集合、抽象与数学模型抽象过程是建模工程的基础。

由于建模和集合论都是以抽象为基础，集合论对于建模工程是非常有用。

1、集合：有限集合无限集合，整数集合I,实数集合R ，正整数集合I +,非负整数集合I 0+=I +U{0}，}{0,0∞=++∞ I I 是非负整数加符号∞而成的集合。

与其类似，R +,R 0+和+∞,0R 则表示实数的相应集合。

叉积是集合基本运算：令A 和B 是任意集合，则A ×B={（a,b ）,a ∈A,b ∈B}。

2、映射：是一个关系。

具有形式：F t t w →10,:.3、理论构造理论构造是根据充分的抽象概念来建立集合结构，从而使模型具有更广泛的应用能力和应用范围。

理论构造的过程为：建立数学描述时，需要建立几个抽象，即要定义以下几个集合：输入、输出以及状态变量，再建立这些城乡的复合集合结构，定义函数关系。

4、数学模型数学模型就是通过对系统的全部或部分的分析，对系统与外部的作用关系及系统内在的运动规律所做的抽象，并将此抽象用数学的方式表示出来。

集合论正好可作为研究系统的工具，因为建模就是要得到一个被抽象集合机构的系统的定义，这个集合结构总是可以用若干同类结构的合成体来替代，从而不断地使其具体化。

2.1.3 数学建模的形式化表示（重要）一个系统可以定义为下面的七元组集合结构：δλQX=,YSΩ,,,,,其中，T为时间基；X为输入集；Ω为输入段集；Q为内部状态集；Y为输出集；δ为状态转移函数；λ为输出函数。

它们的含义与限制如下：1、时间基T是描述时间和为事件排序的一个集合。

通常，T为整数集I或实数集R，则系统也就分别被称离散时间系统或连续时间系统。

2、输入集X代表系统界面的一部分，外部环境通过它起作用于系统。

通常选取X为R n,其中n∈I+，即X代表n个时值的输入变量。

3、输入段集一个输入段描述某时间间隔内系统的输入模式。

一个输入段集是片段的一个特例，同时，又是这样一个映射：Xttw→1,:,其中，10,t是时间基中从初始时刻t0到终止时刻t1的一个区间，所有上述输入片段所构成的集合都记作(X,T),输入段集Ω是（X,T）的一个子集。

4、内部状态集Q是表示系统的记忆，即过去历史的遗留物，它影响着现在和将来的响应。

内部状态集Q是内部结构建模的核心。

5、 状态转移函数状态转移函数是一个映射，它Q Q →Ω⨯:δ的含义是：若系统在时刻t0处于状态q ，并且施加一个输入段X t t w →10,:，则),(w q δ表示系统t1时刻的状态。

因此，任意时刻的内部状态和从该时刻起的输入段唯一地决定了段终止时的状态。

状态集主要是一个建模的概念，在真实系统中并没有什么东西和它直接相对应。

6、 输出集输出集合Y 代表着截面的一部分，系统通过它作用于环境。

除方向不同外，输出集的含义和输入集完全相同。

7、 输出函数输出函数使假想的系统内部状态与系统对其环境的影响相关联，如系统不允许输入直接影响输出，输出函数是一个这样的映射Y Q →:λ。

常用的一个输出函数是下面的一个映射Y T X Q →⨯⨯:λ，即当系统处于状态Q 时，并且系统的当前输入是X 时，(q,x,t)能够通过环境检测出来。

通过上面的输出函数的形式定义，则系统行为的概念为：一个系统的行为是其内部机构的外部表现形式，即在叉积(X ,Y ) ×(Y ,T )上的关系。

这个关系可做如下计算：对于每一个状态Q q ∈和在Ω中的输入段X t t w →10,:，存在一个相关联的状态轨迹：Q t t STRAJ w q →10,,: 使得 q t STRAJw q →0,: 和对于),(10t t t ∈，有 ),()(:,>→t w q w q t STRAJ δ上述轨迹的可观测投影是和Q q ∈，Ω∈w 相关的输出轨迹：Y t OTRAJ w q →10,,: 。

使用简单的输出函数形式)(q λ，则存在))(()(,,t STRAJ t OTRAJ w q w q λ→。

这时系统的行为就可以通过输入-输出关系R ，表现出来：)},,|),{(,Q q OTRAJ w w R w q ∈=Ω∈=对于某一个ρρ称每一个s R w ∈),(ρ的元素为输入输出段对，并用它来表示一个有关系统的实验结果或观测结果。

在该系统中，w 是对系统的输入，ρ是观测到的输出。

2.1.4 模型的有效性与建模形式化模型的有效性可用实际系统数据和模型产生的数据之间的符合程度来度量。

它分三个不同级别的模型有效：复制有效、预测有效和结构有效。

不同级别的模型有效，存在不同的行为水平、状态结构水平和分解结构水平的系统描述。

1、 行为水平将系统看成一个黑盒，并且对它施加一个输入信号，然后对它的输出信号进行测量与纪录。

黑盒},{ρw R s = )(t ρ图 2.3 行为水平的系统系统描述的基本单位是“轨迹”，它是从一个时间基的区间到表示可能的观测结果的某个集合上的映射。

2、状态结构水平基于建模者对实际系统的内部工作情况了解清楚，且掌握了实际系统的内部状态及其总体结构。

δλρ)(t图2.4 状态结构水平的系统这种描述可使系统模型自动产生一种行为轨迹，产生这种行为轨迹的基础是系统描述中存在“状态集”以及“状态转移函数”，前者表示在任意时刻所有可能的结果，而后者则提供给定状态计算未来状态的规则。

3、分解结构水平在此水平上描述系统，建模者不仅搞清实际系统内部工作之间关系，且了解了实际系统的内部分解结构，可把实际系统描述为由许多子系统相互连接起来而构成的一个整体。

2.1.5 数学模型的分类1、分类（1）根据模型的时间集合可分为连续时间模型和离散时间模型。

连续时间模型：时间用实数表示，系统状态可在任意时刻获得。

离散时间模型：时间用整数表示，系统状态只能在离散的时刻点上获得。

（2）根据模型的状态变量可分为连续变化模型和离散变化模型。

连续变化模型：系统的状态变量是随时间连续变化。

离散变化模型：系统的状态变量是不连续变化，只在特定时刻变化，在两个特定时刻之间是不变的。

综合上述，有以下分类：第一类：连续系统，一般是常微分方程和连续时间的偏微分方程。

第二类：采用系统，系统状态随时间连续变化，而只在离散时间上获取系统状态变量值。

所对应的模型是离散时间的偏微分方程模型和系统动力学模型。

第三类：离散事件模型，系统状态在离散时间点上变化，系统的状态可以连续变化。

第四类：离散模型，系统状态变化和时间集上都是离散的。

2、例子（略）P25—26 自看书。

2.1.6 系统描述间的关系建模的本质是在实际系统与模型之间建立一种关系，而仿真的本质则是在模型与仿真程序之间建立某种关系。

因为系统具有内部结构与外部行为，所建立的关系应考虑两者间的结构关系和行为关系。

对于行为关系，主要考虑现实系统S和描述系统S'的行为等价。

这两个系统具有相同的输入和输出关系。

对于结构关系，存在两种基本关系：同态和同构。

同态是纸两个系统S和S'的T,X,Ω,Y都相同，Q，δ，λ和Q'，'δ，'λ不相同。

同构是一种同态，在这种同态中，映射h与状态是一一对应的。

如果系统S到系统S’是同态，则它们是行为等价的，且同态系统S'的内部结构可能比原有系统S的内部结构要简单。

而两个系统同构，也就是两个系统具有相同的内部状态结构。

同构必定具有行为等价的特性，但行为等价的两个系统并一定具有同构关系。

2.2 建模方法学2.2.1 建模过程的信息源建模过程主要有三类信息源：1、建模目的建模目的对建模的形式有很大影响，在不同的建模目的下，同一个行为有时可定义为系统的内部作用，有时又可定义为系统边界上的输入变量。

如果仅需了解系统与外界的相互作用关系，那么可以建立一个以输入输出为主的系统外部行为模型。

而若希望了解系统的内在活动规律，就要设法建立一个描述系统集合、状态集合及输出集合之间的内部状态结构状态模型。

2、先验知识在系统建模的过程中，可以从与系统有关的已有知识出发，提高建模的速度和正确性。

3、实验数据系统建模的信息来源，也可以通过对系统进行实验和观测获得。

对实际系统的实验和测量是掌握系统自身特性的重要手段。

2.2.2 建模途径1、演绎法是运用先验信息，建立某些假设和原理，通过数学的逻辑演绎来建立模型。

假定对实际系统已经有一些定理和原理可以被利用，由此可以通过数学演绎和逻辑演绎来建立系统模型。

2、归纳法是基于试验数据来建立系统模型的方法。

3实际具体的建模可归纳如下：（1）对于内部结构和特性清楚的系统，即白盒系统，可以利用已知的一些基本定律，经过分析和演绎导出系统模型。

（2）对内部结构和特性不清楚的，即所谓黑盒或灰盒，如果允许直接进行实验测量并通过实验对假设模型加以验证和修正。

（3）对属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，则采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。

详细可见P31图2.8 建模过程框图2.2.3 模型可信性模型的可信度指模型的真实程度。

一个模型的可信度可分为：1、在行为水平上的可信性，即模型是否重现真实系统的行为。

2、在状态结构水平上可信性，即模型能否与真实系统在状态上互相对应，通过这样的模型可以对未来的行为进行唯一的预测。