1、若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.
小结：0>∆，方程有2个实根；0=∆，方程有1个实根；0<∆，方程无实根.
2、若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

0<m <1
2、若关于x 的方程0122
2=++⋅+a a x x 有实根，则∈a 。

2、若方程4(3)20x x m m +-•+=有两个不相同的实根，求m 的取值范围。

0<m <1
小结：01>x ，02>x (两个正根)⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b
3、一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。

（512-
≤k 或k>3） 3、一元二次方程0234)1(22=-+++k kx x k 有两个负实根，求实数k 的取值范围.
3、一元二次方程06)63()2(2
=++--k x k x k 有两个负根，求k 的取值范围 小结：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b
4、k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 分析：依题意有3k k
-<0=>0<k <3 4、若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根，则a ∈(1,1)-．
小结：210x x <<⇔
00<⇔<ac a
c
5、若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？ 分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32x +5x =0，另一根为负。

小结：①01=x ，02>x ⇔0=c 且0<a
b ⇔0=
c 且0<ab ； ②01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a
b ⇔0=
c 且0>ab 6、已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。

（4
12912<<m ） 6、若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

（6252+>-<m m 或）
6、方程0422=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿。

6、方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是( )
A 、△≥0且f (1)>0
B 、f (1)>0且－
a b >2 C 、△≥0且－a b >2，c a >1 D 、△≥0且f (1)>0，－a b
>2 小结：21x x k ≤<⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+->--≥-=∆0)()(0))((0421
212k x k x k x k x ac b
7、若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。

（6252
1+>-<m m 或） 小结：k x x <≤21⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+->--≥-=∆0)()(0))((0421
212k x k x k x k x ac b 。

8、已知方程03222
2=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围. 2
21221+-<<--m 8、方程0122=++mx mx 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值范围是______
8、m 取何值时，方程22
7(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1． 小结：21x k x <<⇔0)(<k af ⇔⎩⎨⎧<--≥-=∆0
))((04212k x k x ac b
推论：211x x <<⇔0)(<++c b a a 。

9、已知方程012)2(2
=-+-+m x m x 仅有一实根在0和1之间，求m 的取值范围. （3221<<m ） 9、已知方程012)2(2=-+-+m x m x 的较大实根在0和1之间，求实数m 的取值范围。

变式：改为较小实根 （不可能；22
1<<m ） 小结：有且仅有11x k <(或2x )2k <⇔0)()(21<k f k f .考虑端点，验证端点.
10、实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一
根大于1而小于3
10、若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。

（
3
221<<k ） 10、已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围。

（73-<<-m 或72<<m ）
小结：221211p x p k x k <<≤<<⇔⎩
⎨⎧><0)()(0)()(2121p f p f k f k f
11、若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围。

（21324-
<<+-k ） 11、设二次函数
，方程()f x x -=0的两个根满足. 且函数
的图像关于直线对称，证明：. 解：由题意 ()c x b ax x x f +-+=-)1(2.
由方程()f x x -=0的两个根满足, 可得
,121021a x a b x <<--<
<且a b x x a b 212121---=---, ∴ a
b a a b x x a b 211212121---<---=---，即 1x a b <-，故 . 11、设二次函数
，方程()f x x -=0的两个根满足
. 当时，证明()1x x f x <<.
证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.a x x x 1021<
<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当
时，x x f >)(. 又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,
,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.
小结：2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b
12、已知方程012=+++m mx x 的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m 的取值范围。

小结：借助三角函数公式，转化为有两个正根。