4
.
所以 a m in
4
- 8
8
.
题型5 三角函数图象的应用 3. 设f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的周期 T=π，最大值f( 1 2 )=4.
(1)求ω、a、b的值；
(2)若α、β为方程f(x)=0的两根，α、β的
终边不共线，求tan(α+β)的值.
解：(1)f(x)= a2b2sin(x). 因为T=π，所以ω=2. 又因为f(x)的最大值f( )=4，
相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在
圆x2+y2=R2上，则R的值为______.
解：由最高点( R ，3)，最低点(- R ，-3)在
圆x2+y2=R2上，即
R
2
2
3
R
2，得R=2.
2
4
点石成金
图象变换的两种途径的差异.
(1)先相位变换后周期变换：
y=sinx 向左平移φ(φ＞0)个单位长度 y=sin(x+φ)
12
所以4 a2 b2
,且 4
a
sin
2 12
b
cos
2 12
,
解得a=2,b= 2 3 .
(2) f(x)2sin2x2 3cos2x4sin(2x).
3
因为f(α)=f(β)=0，
所以4sin(2)4sin(2),
所以
232 3k23(k3 Z),或23
2k
-(2 )(kZ),
3
即k (此时，α、β共线，故舍去)，或
第四章
三角函数
4.4 三角函数的图象
第二课时
题型3
图象变换
1.
(1)将函数y=sin(2x+
3
)的图象向右平移
个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短
8
到原来的 1 (纵坐标不变)，求所得图象对应的函
3
数解析式.
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长
到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的 1 ，再将图
拓展练习
题型4 三角函数图象的对称性
2.
求函数y=sin(2x-
6
)的图象的对称中心和
对称轴方程.
解：从图象上可以看出每一个零值点都是对
称中心，
即有2x-
6
=kπ(k∈Z),所以
x k (k Z ), 2 12
所以对称中心的坐标为( k , 0 )( k Z ).
2 12
过每个最值点且与x轴垂直的直线都是对称轴,
C关于直线x= 对称，求a的最小值.
解：f(x)sin4 (x)cos(x)1sin(2x).
由
2xk(kZ),
8
得
x
8 k
2 (k
Z ).
4
42
28
所以函数y=f(x)的图象的对称轴方程是
x k (k Z ). 28
其中位于直线x= 左侧，且与该直线距离
4
最近的一条对称轴的方程是x=
所以 2x-k(kZ),
62
所以 xk(kZ),
23
所以对称轴方程为 xk(kZ).
23
点评：正弦曲线既是轴对称图形，又 是中心对称图形.函数y=Asin(ωx+φ)的对称 中心就是使Asin(ωx+φ)=0所对应的点；对 称轴方程与y=Asin(ωx+φ)取最值时的x的值 有关.
向右拓平展移练a(a习＞将0)函个数单位f(x长)度sin(得78曲-x)线cos(Cx ，8若)的曲图线象
k ,其中k∈Z，
6
所以 tan( ) tan(k ) 3 .
63
点评：应用函数的图象来解决有 关交点问题或方程解的问题，体现了 “以形助数”.三角函数的图象综合了 周期性和对称性，注意周期性和对称 性的应用，如本题就是应用周期性来 解决的.
拓展练习已知函数 f (x) 3sinx的图象上 R
(2)y= 1
sinx 右移 2 个单位长度
2
y= 1 sin(x- ) 纵坐标伸长到原来的4倍
2
y=2sin(x-
2
)
横坐标缩短到原来的
1 2
2
y=2sin(2x- )=-2cos2x.
2
所以f(x)=-2cos2x.
点评：图象的变换有平移、伸缩、翻 折等，其中平移是最常见的变换.在进行左 右平移变换时，一是注意方向：按“左加 右减”，即由f(x)的图象变为f(x+a)(a>0)的 图象，是由“x”变为“x+a”，是加a，所以 是左移a个单位长度；由“x”变为“x-a”是 右移a个单位长度；二是注意x前面的系数 是不是1，如果不是1，左右平移时，要先 化为1，再来观察.
象向左平移
2
4
个单位长度，得曲线y= 1
2
sinx，
求函数f(x)的解析式.
解：(1)y=sin(2x+
) 右移 8 个单位长度
3
y=sin［2(x- )+ ］
8
3
Hale Waihona Puke =sin(2x+ ) 横坐标缩短
y=sin(6x+1 2 ).
12
到原来的 1
3
故所求的函数解析式是y=sin(6x+ 1 2 ).
各点的横坐标变为原来的
1
倍
纵坐标不变
(2)先周期变换后相位变换：
y=sin(ωx+φ);
y=sinx
各点的横坐标变为原来的
1
倍
y=sinωx
纵坐标不变
向左平移φ(φ＞0)个单位长度 y=sin［ω(x+φ)］.