第一部分 双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.四．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑤ 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 六.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 2121k x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+。

第二部分 典型例题分析题型1：运用双曲线的定义例1. 如图所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27[解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C练习：设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

题型2 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．解：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.练习：1已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 解：设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 2.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=> C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B题型3 与渐近线有关的问题 例3.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是A ．1241222=-y xB ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x [解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B练习：过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是解：设所求双曲线为()2214x y k-= 点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）：22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求. 题型4 弦中点问题——设而不求法例4. 双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. 12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y解:设弦的两端分别为()()1,12,2,A x y B x y .则有：()()222222111212121222121222101x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩. ∵弦中点为（2，1），∴121242x x y y +=⎧⎨+=⎩.故直线的斜率121212122y y x xk x x y y -+===-+.则所求直线方程为：()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.练习：1.在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.【错解】假定存在符合条件的弦AB ，其两端分别为：A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.那么：()()()()()22111212121222221112011212x y x x x x y y y y x y ⎧-=⎪⎪⇒-+--+=⎨⎪-=⎪⎩.∵M （1，1）为弦AB 的中点，∴()()()1212121212122022AB x x y y x x y y k y y x x +=⎧----=∴==⎨+=-⎩代入1：2， 故存在符合条件的直线AB ，其方程为：()12121y x y x -=-=-，即. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M （1，1）代入方程1222=-y x ，发现左式=1-1122=＜1，故点M （1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB 的斜率2AB k =，而双曲线的渐近线为y =.这里2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由()()222221221224302221y x x x x x y x ⎧-=⎪⇒--=⇒-+=⎨⎪=-⎩这里16240∆=-，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 结论；不存在符合题设条件的直线.2. 已知双曲线1222=-y x ,问过点A （1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。

解：设符合题意的直线l 存在，并设),(21x x P 、),(22y x Q则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(12)1(1222222121y x y x ﹙1﹚)2(-得))((2121x x x x +- )3())((212121y y y y +-=因为A （1，1）为线段PQ 的中点，所以⎩⎨⎧=+=+)5(2)4(22121y y x x 将(4)、(5)代入（3）得)(212121y y x x -=- 若21x x ≠，则直线l 的斜率22121=--=x x y y k ，其方程为012=--y x⎪⎩⎪⎨⎧=--=121222y x x y 得03422=+-x x 根据08<-=∆,说明所求直线不存在。

3.已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论解 (1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1 由已知得321,16622222222=+==-a b a e b a ,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为12922y x -=1(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有22121112221212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34∴l 的方程为 y =34 (x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在题型5 综合问题1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2•>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得2=a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将=y kx 2213-=x y得22(13)90---=k x 由直线l与双曲线交与不同的两点得()222213036(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k 即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则229,1313-+==--A B A Bx y x y k k ，由2•>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x2222937(1)21331-+=+++=--k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k故的取值围为3(1,,1⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭2.已知两定点1(F 2F 满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。