函数单调性与奇偶性经典例题透析
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
函数单调性与奇偶性经典例题透析（一）
讲课人：张海青
授课时间：2014年9月23日
授课地点：教学楼二楼多媒体（二）
授课对象：高三文科优生
授课过程：
类型一、函数的单调性的证明
1．证明函数上的单调性.
证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0
则
∵x1>0，x2>0，∴
∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0
∴上递减.
总结升华：
[1]证明函数单调性要求使用定义；
[2]如何比较两个量的大小？(作差)
[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】用定义证明函数上是减函数.
思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2；(2)
解：(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|；(2)(3).
总结升华：
[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；
[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.
函数单调性与奇偶性经典例题透析（二）
讲课人：张海青
授课时间：2014年10月8日
授课地点：教学楼二楼多媒体（二）
授课对象：高三文科优生
授课过程：
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.
解：
又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.
4. 求下列函数值域：
(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].
思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.
解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2)；
(2)画出草图
1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；
2).
举一反三：
【变式1】已知函数.
(1)判断函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.
5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)
的取值范围.
类型四、判断函数的奇偶性
6. 判断下列函数的奇偶性：
(1)(2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6)(7)
思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；
(4).
举一反三：
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
举一反三：
【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则= ．
8. f(x)是定义在R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=x2-2x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.
9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.
类型六、综合问题
10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，
设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).
11. 求下列函数的值域：
(1)(2)(3)
思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.
12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.
13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.。