1# 数学归纳法一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是 ( )A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝ k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是 ( )A ．2k －1 B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋13．(2011·巢湖联考)对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法 ( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确4．用数学归纳法证明“n 2＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k＋1时的情况，只需展开 ( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)35．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推 到n ＝k ＋1时不等式左边 ( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对二、填空题(每小题4分，共16分) 6．(2011·淮南调研)若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_____． 7．观察不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)． 8．(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．9．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．11 112 1133 11464 1……三、解答题(共3小题，共34分)10．(本小题满分10分)试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．11．(本小题满分12分)已知数列{a n}的各项都是正数，且满足：a0＝1，a n＋1＝12a n·(4－a n)(n∈N)．12．(本小题满分12分)(2011·开封调研)在数列{a n}，{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n＋1成等差数列，b n，a n＋1，b n＋1成等比列(n∈N*)，求a2，a3，a4与b2，b3，b4的值，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论．1#答案：1.解析：A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 答案：D2.解析：增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2k .答案：C3. 解析：在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．答案：D4. 解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 2＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案：A5. 解析：∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1. 答案：C6. 解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27. 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2. 答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 28. 解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n 2＝60， ∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案：(5,7)9. 解析：所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，除掉1的和2n －1－(2n －1)＝2n－2n .答案：2n －2n10. 证明：证法一：(1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．当n ＝k ＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9 ＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)，即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *，命题都成立．证法二：(1)当n ＝1时f (1)＝64命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．由归纳假设，设32k ＋2－8k －9＝64m (m 为大于1的自然数)，将32k ＋2＝64m ＋8k ＋9代入到f (k ＋1)中得f (k ＋1)＝9(64m ＋8k ＋9)－8(k ＋1)－9＝64(9m ＋k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)(2)知，对于任意n ∈N *，命题都成立．11. 证明：a n <a n ＋1<2(n ∈N )．证明：证法一：用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以a 0<a 1<2，命题正确． (2)假设n ＝k －1(k ∈N *)时命题成立，即a k －1<a k <2.则当n ＝k 时，a k －a k ＋1＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k )＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k ) ＝12(a k －1－a k )(4－a k －1－a k )． 而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，所以a k －a k ＋1<0.又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2.所以n ＝k 时命题成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N 时有a n <a n ＋1<2.证法二：用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以0<a 0<a 1<2；(2)假设n ＝k －1(k ∈N *)时有a k －1<a k <2成立，令f (x )＝12x (4－x )，f (x )在[0,2]上单调递增， 所以由假设有：f (a k －1)<f (a k )<f (2)，即12a k －1(4－a k －1)<12a k (4－a k )<12×2×(4－2)， 也即当n ＝k 时，a k <a k ＋1<2成立．所以对一切n ∈N ，有a k <a k ＋1<2.12. 解：由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1. 又a 1＝2，b 1＝4，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16， a 4＝20，b 4＝25，猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2，b 1＝4，结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2， ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．。