▆
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
《高等代数选讲》期末考试
一、 单项选择题（每小题4分，共20分）
1 2 3 4 5 D
A
A
C
D
1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ）
() ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-；
22()
()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。

2．设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则（ ）。

()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； ()
C 若m n >，则0AB ≠； ()
D 若m n <，则0AB ≠；
3．n
中下列子集是
n
的子空间的为（ ）．
()
{}
3
111[,0,
,0,],n n A W a a a a =∈
()3
2121[,,
,],1,2,
,,1n
n i i i B W a a a a i n a =⎧
⎫
=∈
==⎨⎬⎩⎭∑；
()3
3121[,,
,],1,2,
,,1n n i i i C W a a a a i n a =⎧
⎫
=∈==⎨⎬⎩⎭∏；，
()
{}3
42[1,,
,],2,3,
,n i D W a a a i n =∈
=
4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量
123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则Ax b
=的一般解形式为（ ）.
（A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T
T
k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数
5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ）
()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1,
2
-。

二、 填空题（共20分）
1．（6分）计算行列式2
2
2
1
11
2
34234= 2 ；32001200
02321
2
4
4
= 16 。

2．（4分）设4
44113
2145
3
33222354245613
D =，则212223A A A ++= 0 ；2425A A += 0 。

3．（3分）计算
100123100010456001001789010⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 。

4．（4分）若2
4
2
(1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。

5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组
000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
有唯一解。

三．（10分）计算n 阶行列式：320001320001300000320
1
3
n D =
四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，求X
▆
所以，
五．（10分）利用综合除法将4()f x x =表示成1x -的方幂和的形式。

解：使用综合除法，如下所示：
六．（15分）试就,p t 讨论线性方程组123123
1
234232724
px x x x tx x x tx x
++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩解的情况，并在有无穷多解时求其通解。

解：
七．（15分）设矩阵122212221A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
， 1． 求矩阵A 的所有特征值与特征向量；
2． 求正交矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵。

解：1、
（5-λ）（1-λ），
，得A 的特征值为5，-1，
-1
因此将 中得基础解系为
，其对应的全部特征
向量为k 1a 1,其中k 1为任意非零常数。

将代入
中得基础
解系为
，
其
对应的全部特征向量为k 2a 2+k 3a 3,其中k 2，k 3
为不为零的常数。

▆■■■■■■■■■■■■。