大收小收，小发大发
证明 设S" = 由于＜ 17兀，显然S兀＜ crn (1 )若2肮鸟vn收敛，则其咅|3分和数列｛四｝有界, 因此级 数S^=i un的部分和数列。兀｝也有界， 由定理1 ,级数£肮鸟Un收敛. (2)若以鸟“姓发散，则其部分和数列｛&｝无界, 因此级数竺的咅B分和数列｛"房也无界， 由定理1,级数x^=l旧t发散.
级数T 号收敛，所以级数旗_严（100+点）收敛•
n=l
n=l
比较判别法的特点： 1、 通项大的级数收敛，则通项小的级数被压得收敛;
通项小的级数发散，则通项大的级数被挤得发散; 2、 需要预判级数敛散性，然后寻找参照级数； 3、 需要参照级数进行对比，因此需要掌握一定量的
常见正项级数的敛散性； 4、 常见参照级数有调和级数、P-级数和等比级数.
ZINN时，有 Un < CVn(C > 0),贝 0
⑴若£楚3兀收敛，则忠旨5收敛；
(2)若忠翁“兀发散，则%发散.
3>比较判别法的极限形式
定理3对于正项级数以鸟,
XL
I⑴若lim^=l(O<l< +oo),则级数富乌％与富刍％敛散性相同
"TOO Vn
⑵当Nm切=0,若席号叫t发散，则席号些发散；
—
+— 15P
+
—
+
—
+•••
+
—+•••
n=1nP
2P
(£ + &) + (£+ …+ £)+(*
=1 +
+ ••• + &) + …
< 1 + (段+打+ (3+…+
3) + ($+••• + $) + •••
111
=l + g +碎+ 帀 +一
=1 +丄+（矗）+（矗）+"・=如=0（矗）
2PT
§10.1无穷级数的概念 §10.2无穷级数的基= 本性质 §10.3数项级数的敛散性判别法 §10.4数项级数与幂级数 §10.5函数的幂级数展开
数项级数的敛散性判别法（一）
:。正项级数 。正项级数收敛的充要条件
正项级数:
Xn=i Un r Un > O,（M = L 2,…）
咅6分和数列通项：= 2^=1 Uk
n—>oo vn
若 以岩糾.收敛，则£*号攵敛.
1(3)当Zbn四=8,若vn发散，则M岩发散；
71—8 vn
若席岩皿收敛，则以岩收敛.
例8判断级数si
奈+ + sin
Sin^ +…+ Sin^ +…的敛散性.
♦解
.n
n-^oo 诉
所以原级数收敛.
例9判别下列级数的敛散性
°° (1) 2J“=I 加＞+11)
(2)2jn=1 (n-l)(n-4)
I⑶y—1H8n=1mn
1
♦解亠
。0 00
黒頒 （1）
=爍焉=1，Xn=1袈散，故如=1商/发散
1
⑵ Ioloim(nd—*-4l))—(nn—m 4_)A_ ziT8 —
n— =1,
OO
_1*收敛，故原级数收敛.
⑶使M使左=+8〉：搭发散’故原级数发散
例10判别级数£：_] m（I +令）的敛散性
^-noo
P>1时，町VI,如=0
n
收敛，
由比较判别法，p-级宛m也收敛
综上可知 P>1时，P-级数2 _］制攵敛;
P < 1时，P-级数〉_1疝发散•
例3判别下列级数的敛散性
发散
⑶須搭
收敛 收敛
監的敛散性.
nn-n
例5判断下列级数的敛散性
Jn(n+1)
Jn(n+1)
;寿发散，故Z
:=f发散
、 例1判别级Z^数n〉=l為2+的S、敛oo散性.
♦ 解因为亮〈备，“2 1X1 8 A 而级数如碁敛Zoo盘也收敛.
♦ 例2判断P-级数号的敛散性.
<n=ln
&蓦 ♦ 解* 1时’
而调和级数，8丄发散
^71 = 1 71
因此p-级数500 土也发散.
T 13P
4—P =51P+6—P+7—P+8—P +
⑵"n = (n-lXn-4) <(^)2 心 5 IL 齐敛,故收敛•
例6当a > 0时，判断级数2： 蟲的敛散性. .解当0 v a v 1时，"％自=1壬0,
因而级数2 怡发散; 当a = ^，/%& = ^。，级数Z=1赤发散； 当a > 1时，翥V 沽收敛，级数2：］看也收敛.
推论设Sn=l Un > En=l Vn都是正项级数，且存在自然数N，使 当
咅13分和数列伍异单调递增：$兀=£五=穿大＜ £五=丄吹+ ”兀+2 = 5兀+丄
单调有界数列必有极限&有极限的量必有界
定理1正项级数岩U兀收敛的充要条件是部分和数列有界.
正项級数敛散性的比较判别法
定理2对于正项级数鸟口如，＜有°三“兀= L2,…
⑴若£挡％收敛, (2)若岩"兀发散,
则我*1 %收敛; 则£灣L Vn发散.