利用平面向量研究平面几何问题
——数学研究性学习 作者：天宇神督
本学期我们学习了平面向量这一节知识点后，很多同学都在实际运用中逐渐发现向量作为一种独特的数学工具，有着很强的实用性，对于我们以前学过的一些问题的证明过程，如果利用向量的有关知识进行证明，会使证明过程及思路简化很多，这次让我们从平面向量的角度重新回味一下我们初中学过的平面几何知识，希望大家都能有所收获，有所感悟。

向量具有多种工具作用，在平面几何中可以利用向量知识解决有关长度、角度的计算及有关平行、垂直等位置关系问题，可以使许多平面几何问题的解决得到简化.下面由我来为大家举例说明利用向量法解证平面几何问题的策略. 一应用向量知识证明平面几何有关定理
例1、证明直径所对的圆周角是直角
（ps ：这一问题我们在初中的证明方法比较繁琐，看看利用向量的简便之处。

）
分析：要证明∠ACB=90° 只需证明向量AC 垂直向量CB 即AC*CB=0
证明：设向量AO=a ，
向量OC=b 则向量AC=a+b ，向量CB=a-b
则AC*CB=（a+b ）*（a-b ）=a ²-b ²=|a|²-|b|²=r ²-r ²=0
即AC*CB=0，所以∠ACB=90°
平面向量的证明方法简单明了而又快捷，同时在其他方面也有管饭的应用 二应用向量知识证明三线共点、三点共线
（ps ：初中的知识很难直接说明这一类问题但是利用向量思路会豁然开朗。

请看例题） A B
C O
如图所示，已知⊙O ，AB 为直径，C
为⊙O 上任意一点。

求证∠ACB=90°
例2、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证：AD、BE、CF交于一点
分析：设AD与BE交于H，只要证
CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF
过点H）
设BC=a，CA=b，CH=p
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。

因为HA⊥BC，BH⊥CA
所以（b-p）*a=b*a-p*a=0①，（a+p）*b=a*b+p*b=0②
所以②-①得p*b+p*a=0 即p*（a+b）=0 所以CH*AB 所以CH⊥
AB
直接证明三点共线很麻烦，从已知条件中利用平面几何的知识，在
没有相关定理的情况下，不容易入手，但是通过平面向量的定理定义
我们很快就能找到思路，简单快速的推出结论
三应用向量知识证明等式、求值
（ps：平面几何中求值问题多利用勾股定理等繁琐的运算，先求一部分再求另
一部分，最后推导出要求的量，尤其是在平面直角坐标系中更是如此，学
习完向量后，运用向量这一强大的数学工具和相关的定理，很多问题都能
够迎刃而解，请看例题）
例3已知正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，
求cos∠DOE的值.
分析：以OA所在直线为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系
如图4所示,由已知得→
OD=(1，
1
2
)，
→
OE=(
1
2
，1)
A
B C
D
E
图4
故cos ∠DOE=→OD ·→OE |→OD ||→OE |=1×12+12×152×52
=45. 这道题如果利用直接计算的方法，步骤很容易出错，不容易写出条理性，计算量大，利用两非零向量的夹角公式解证明角的问题，会简单很多。

例4如图7，设四边形ABCD 的两对角线AC 、
BD 的中点分别为M ，N ，求证：12
|AB ﹣CD|≤MN ≤12
(AB ＋CD). 分析：利用向量，结合图形，把不直观的结论转
化为几何语言
证明：∵→MN
＝→MA ＋→AB ＋→BN ，→MN ＝→MC ＋→CD ＋→DN ， ∴2→MN ＝(→MA ＋→MC)＋(→AB ＋→CD)＋(→BN
＋→DN)， ∵M ，N 分别虽AC ，BD 的中点，故→MA ＋→MC ＝0，→BN ＋→DN ＝0，
∴→MN ＝12(→AB ＋→CD )，|→MN |＝12
|→AB ＋→CD|， 但||AB |﹣|CD ||≤|→AB ＋→CD |≤|→AB |＋|→CD |，∴12||AB |﹣|CD ||≤|→MN |≤12
(|→AB |＋|→CD |)， 即12|AB ﹣CD|≤MN ≤12(AB ＋CD). 小结：
平面向量是数学中独特的一种工具，数学本身就是要求具有结合的思想，而向量更是完美的将二者结合了起来，无论是计算还是从图形思考，都使问题简化了很多。

我们利用向量再去解决平面几何的一些问题，就会发现别有一片天地，思路扩大了很多，这就像学习完惩罚以后再去看加法的问题，会有很多不同感受的，这也提示我们，学习了新的知识，要结合以前的知识多分析，多研究，不光是在平面几何中的应用，向量在数学的很多方面都有闪光之处，只要你多观察，细心发掘，肯研究，那收获的会更多。

图7。