即时训练 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家， 独立地对每位大学生的创业方案进行评审． 假设评审结果为“支持”或 1 “不支持”的概率都是2.若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的 创业资助； 若只获得一个“支持”， 则给予 5 万元的资助； 若未获得“支 持”，则不予资助．求： (1)该公司的资助总额为零的概率； (2)该公司的资助总额超过 15 万元的概率．
0
2113 8 P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C4 (3) (3) ＝81.
1
2212 8 P(ξ＝3)＝P(η＝2)＝C4 ( ) ( ) ＝ . 3 3 27
2
2 1 32 P(ξ＝4)＝P(η＝3)＝C43( )3( )1＝ . 3 3 81 2 4 1 0 16 P(ξ＝5)＝P(η＝4)＝C4 ( ) ( ) ＝ . 3 3 81
响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．
2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至
多有一个发生 ”“ 恰有一个发生 ”“ 都发生 ”“ 都不发生 ”“ 不
都发生 ”等词语的意义．已知两个事件 A、 B，它们的概率分别为
P(A)、P(B)，则z
A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；
[ 例 1]
一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能
的，已知这个家庭有一个小孩是女孩，问这时另一个小孩是男孩
的概率是多少？
[课堂记录] 解法一：基本事件的全体 Ω＝{男男，男女，女男，
3 女女}， 记事件 A 为有一个女孩， 则 P(A)＝ ， 记事件 B 为另一个是男孩， 4 1 则 AB 就是事件一个男孩一个女孩，P(AB)＝ ，故在已知这个家庭有一 2
立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结 果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生 的概率都是一样的．
2．二项分布是离散型随机变量的分布列中重要的一种模型，
应用非常广泛，也是高考考查的重点，把握二项分布的关键是理
解好独立重复试验及问题研究的随机变量究竟是什么．
[例 3] 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A＝ a1 a2 a3 a4 a5 ，其中 A 的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现 0 的 1 2 概率为 ，出现 1 的概率为 .记 ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次 3 3 时， (1)求 ξ＝3 的概率； (2)求 ξ 的分布列．
3 1 1 2 3 2 11 解析：P＝ × ＋ × ＋ × ＝ . 4 3 4 3 4 3 12
答案：C
2．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一
年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市
为雨天，乙市也为雨天的概率为( A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.66 )
二项分布及其应用
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．
2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．
3能解决一些简单的实际问题．
1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和B，在已知事件 A发生的条件下，事 件B发生的概率叫做 条件概率 ，用符号 P(B|A) 来表示，其公式为 PAB P(B|A)＝ PA .
65 16 2 4 不发生的概率为 1－ ＝ ＝( ) ， 所以， A 在一次试验中出现的概率为 81 81 3 2 1 1－3＝3.
1 答案： 3
5 ．某机械零件加工由 2 道工序组成，第 1 道工序的废品率为
a ，第 2 道工序的废品率为 b ，假定这 2 道工序出废品是彼此无关
的，那么产品的合格率是________．
击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击
中目标得 0 分．在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击
中，则额外加1次．若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3
次后的总得分数，求ξ的分布列．
[解] (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X～B(5， 2 22 2 3)．在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率 P(X＝2)＝C5 ×(3) ×(1 2 3 40 －3) ＝243. (2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 A，则 P(A)＝P(A1A2A3 A4 A5 )＋P( A1 A2A3A4 A5 )＋P( A1 A2 A3A4A5) 23 12 1 23 1 12 23 8 ＝( ) ×( ) ＋ ×( ) × ＋( ) ×( ) ＝ . 3 3 3 3 3 3 3 81
η
0
1
2
4 4 5 4 52 p C50· ( )5 C51( )4· C52( )3· ( ) 9 9 9 9 9
3
3 4 2 5 3 C5 ( ) · ( )
4 9
4 4 5 4 C5 ( )· ( )
5
5 5 5 C5 ( )
9
9 9
9
相互独立事件与独立重复试验事件的概率问题一直是高考的
重点，多在解答题中以实际问题为背景，结合离散型随机变量的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1.
答案：ab－a－b＋1
热点之一
条件概率
1．利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 PAB P(B|A)＝ . PA 2．借助古典概型概率公式，先求事件 A 包括的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 nAB P(B|A)＝ . nA
[课堂记录]
(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为
4 3 2 1 Ai(i＝1,2,3,4)，则 P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ，P(A4)＝ ，∴该选手 5 5 5 5 进入第四轮才被淘汰的概率 P4＝ P(A1A2A3 A4 ) ＝ P(A1)P(A2)P(A3)P( A4 ) 4 3 2 4 96 ＝5×5×5×5＝625. (2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P3 ＝ P( A1 ＋ A1 A2 ＋ A1A2 A3 ) ＝ P( A1 ) ＋ P(A1)P( A2 ) ＋ 1 4 2 4 3 3 101 P(A1)P(A2)P( A3 )＝5＋5×5＋5×5×5＝125.
A、B都发生的事件为AB；
A、B 都不发生的事件为 A B ； A、B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B； A、B 中至多有一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A B .
[例 2] 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答 问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、 4 3 2 1 二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、 、 ，且各轮问题能否正确回 5 5 5 5 答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
，
其中k＝0,1,2,3，„，n，q＝1－p.于是得到随机变量ξ的概率分布列
如下： ξ 0 1 „ k „ n P Cn0p0qn Cn1p1qn－1 „ Cnkpkqn－k „ Cnnpnq0
由于 Cnkpkqn － k 恰好是二项展开式 (q ＋ p)n ＝ Cn0p0qn ＋ Cn1p1qn － 1
＋„＋
Cnkpkqn－k
＋„＋Cnnpnq0中的第k＋ 1项(k＝0,1,2，„，
n)，故称为随机变量ξ为二项分布，记作ξ～B(n，p)．
2 1．甲射击命中目标的概率为 0.75，乙射击命中目标的概率为3，当 两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为( 1 A.2 B．1 11 C.12 5 D.6 )
[课堂记录] (1)已知 a1＝1，要使 ξ＝3，只需后四位中出现 2 个 1 和 2 个 0. 2 1 8 ∴P(ξ＝3)＝C42(3)2(3)2＝27. (2)令 η＝a2＋a3＋a4＋a5， ∴η＝0,1,2,3,4. 2 易知 η～B(4，3)，ξ＝η＋1，
∴ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5. 2014 1 P(ξ＝1)＝P(η＝0)＝C4 ( ) ( ) ＝ . 3 3 81
解析：甲市为雨天记为 A，乙市为雨天记为 B， 则 P(A)＝0.2，P(B)＝0.18， P(AB)＝0.12， PAB 0.12 ∴P(B|A)＝ ＝ 0.2 ＝0.6 PA 答案：A
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不
大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率p
(3)由题意可知，ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6. 13 1 P(ξ＝0)＝P( A1 A2 A3 )＝( ) ＝ ； 3 27 2 12 1 2 P(ξ＝ 1) ＝ P(A1 A2 A3 ) ＋ P( A1 A2 A3 ) ＋ P( A1 A2 A3) ＝ 3 ×( 3 ) ＋3 × 3 1 12 2 2 × ＋( ) × ＝ ； 3 3 3 9 2 1 2 4 P(ξ＝2)＝P(A1 A2 A3)＝ × × ＝ ； 3 3 3 27 22 1 1 22 8 P(ξ＝3)＝P(A1A2 A3 )＋P( A1 A2A3)＝( ) × ＋ ×( ) ＝ ； 3 3 3 3 27
，
P(AB)＝ P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B)．
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)， 则A与B相互独立．
3．二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在n次独立重
k k n－k 复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝ Cn p q
解：(1)设 A 表示“资助总额为零”这个事件， 16 1 则 P(A)＝( ) ＝ . 2 64 (2)设 B 表示“资助总额超过 15 万元”这个事件， 16 1 6 1 6 11 则 P(B)＝15×( ) ＋6×( ) ＋( ) ＝ . 2 2 2 32