如何检验数据是否服从正态分布一、图示法1、P-P图以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。
如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。
2、Q-Q图以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。
如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。
以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。
3、直方图判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。
4、箱式图判断方法：观测离群值和中位数。
5、茎叶图类似与直方图，但实质不同。
二、计算法1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）计算公式：g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。
两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。
由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。
2、非参数检验方法非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk（W 检验）。
SAS中规定：当样本含量n≤2000时，结果以Shapiro – Wilk（W检验）为准，当样本含量n >2000时，结果以Kolmogorov – Smirnov（D检验）为准。
SPSS中则这样规定：（1）如果指定的是非整数权重，则在加权样本大小位于3和50之间时，计算Shapiro-Wilk统计量。
对于无权重或整数权重，在加权样本大小位于3和5000之间时，计算该统计量。
由此可见，部分SPSS教材里面关于“Shapiro –Wilk适用于样本量3-50之间的数据”的说法是在是理解片面，误人子弟。
（2）单样本Kolmogorov-Smirnov检验可用于检验变量（例如income）是否为正态分布。
对于此两种检验，如果P值大于0.05，表明资料服从正态分布。
三、SPSS操作示例SPSS中有很多操作可以进行正态检验，在此只介绍最主要和最全面最方便的操作：1、工具栏--分析—描述性统计—探索性2、选择要分析的变量，选入因变量框内，然后点选图表，设置输出茎叶图和直方图，选择输出正态性检验图表，注意显示（Display）要选择双项（Both）。
3、Output结果（1）Descriptives：描述中有峰度系数和偏度系数，根据上述判断标准，数据不符合正态分布。
S k=0，K u=0时，分布呈正态，Sk>0时，分布呈正偏态，Sk<0时，分布呈负偏态，时，Ku>0曲线比较陡峭，Ku<0时曲线比较平坦。
由此可判断本数据分布为正偏态（朝左偏），较陡峭。
（2）Tests of Normality：D检验和W检验均显示数据不服从正态分布，当然在此，数据样本量为1000，应以W检验为准。
（3）直方图直方图验证了上述检验结果。
（4）此外还有茎叶图、P-P图、Q-Q图、箱式图等输出结果，不再赘述。
结果同样验证数据不符合正态分布。
如何在SPSS中做数据正态转化？在何以建老师培训班上，将数据标准正态化，何老师用的方法是：先将各原始分数按百分位排列，然后按照正态分布的面积（P值即百分位）找对应的Z值，这要转换到EXCEL表格里，用NORMSINV函数[ NORMSINV(p) 返回数值z 这样概率p 与一个标准的正常随机变量将采用为小于或等于z 的值。
]，然后再导入SPSS表格中，导放可不是件容易的事，因为有重复的分数，帮还要粘贴替代。
一个功能强大的SPSS，难道一个常用的数据正态化按纽也没有？当然有！我用的是SPSS18.0，这是个汉化版，将一组数据正态化的按纽分别是：“转换”——“个案排秩”——把要正态化的数据迁入“变量”栏——把要呈现的表格式样迁入“排序标准”——再点右上角“秩的类型”——再点右下角“正态得分”，基本上就差不多了，只是正态化有四个选择项，我用的是Tukey法，这种方法对负偏态比较严重的分数相当好。
（何以建老师一个一个尝试过）。
注：在EXCEL中，函数NORMSINV 和NORMSDIST 是相关的功能。
如果NORMSDIST(z) 返回p，然后NORMSINV(p) 返回z。
其实，正态化没有那么神秘，如果我们知道了每个一分数在群体中的排名即可求出它的正态Z分，因为知道排位，即可知道它的百分位置，即面积P值。
那当然轻而易举地知道Z 分了。
数据的标准化、正态化、正态标准化的区别和联系，近期将一个一个描述清楚，到时请你关注我的博客。
现在网上找到一种算法，这个方法比较简单：严格说来，回答你的问题需要讲四个What's normal transformation?（什么是正态转换）Why do we need normal transformation?（为何做正态转换）When is normal transformation needed? （何时做正态转化）How can we do normal transformation?（如何做正态转化）我担心如果只讲How（如何做），也许有些初学者不分场合，误用滥用。
但是，我同样担心如果从ABC讲起，难免过分啰嗦，甚至有藐视大家的智商之嫌。
所幸者，我们已经进入Web 2.0年代，有关上述What, Why, When问题的答案网上唾手可得。
如果对这些问题不甚了了的读者，强烈建议先到google上用“How to transform data to normal distribution"搜一下（或点击下面的“前10条”），前10条几乎每篇都是必读的经典。
' 有了上述交代，我们可以比较放心地来讨论如何做正态转化的问题了。
具体来说，涉及以下几步：第一步，查看原始变量的分布形状及其描述参数（Skewness和Kurtosis）。
这可以用Frequencies 中的Histogram或Examination中的BoxPlot第二步，根据变量的分布形状，决定是否做转换。
这里，主要是看一下两个问题： !左右是否对称，也就是看Skewness（偏差度）的取值。
如果Skewness为0，则是完全对称（但罕见）；如果Skewness为正值，则说明该变量的分布为positively skewed（正偏态，见下图1b）；如果Skewness为负值，则说明该变量的分布为negatively skewed（负偏态，见图 1a）。
然而，肉眼直观检查，往往无法判断偏态的分布是否与对称的正态分布有“显著”差别，所以需要做显著性检验。
如同其它统计显著性检验一样，Skewness的绝对值如大于其标准误差的1.96倍，就被认为是与正态分布有显著差别。
如果检验结果显著，我们也许（注意这里我用的是“也许”一词）可以通过转换来达到或接近对称。
峰态是否陡缓适度,也就是看Kurtosis（峰态）是否过分peaked（陡峭）或过分flat（平坦）。
如果Kurtosis为0，则说明该变量分布的峰态正合适，不胖也不瘦（但罕见）；如果Kurtosis 为正值，则说明该变量的分布峰态太陡峭（瘦高个，见图2b）；反之，如果Kurtosis为负值，该变量的分布峰态太平缓（矮胖子，见图2a）。
峰态是否适度，更难直观看出，也需要通过显著检验。
如同Skewness一样，Kurtosis的绝对值如果大于其标准误差的1.96倍，就被认为与正态分布有显著差别。
这时，我们也许可以通过转换来达到或接近正态分布（峰态）。
" 第三步、如果需要做转化图，还是根据变量的分布形状，确定相应的转换公式。
最常见的情况是正偏态加上陡峰态。
如果是中度偏态（如Skewness为其标准误差的2-3倍），可以考虑取根号值来转换，以下是SPSS的指令（其中"nx"是原始变量x的转换值，参见注2）：如果高度偏态（如Skewness为其标准误差的3倍以上），则可以取对数，其中又可分为自然对数和以10为基数的对数。
如以下是转换自然对数的指令（注2）：以下是转换成以10为基数的对数（其纠偏力度最强，有时会矫枉过正，将正偏态转换成负偏态，注2）：另外，在计量经济学中广泛使用Box-Cox转换方法，有些时间序列分析的专用软件中提供转换程序，但SPSS并不提供。
虽也可以写syntax来做，但很复杂，在此不谈了。
上述公式只能减轻或消除变量的正偏态(positive skewed)，但如果不分青红皂白（即不仔细操作第一和第二步）地用于负偏态（negative skewed）的变量，则会使负偏态变得更加严重。
如果第一步显示了负偏态的分布，则需要先对原始变量做reflection（反向转换），即将所有的值反过来，如将最大值变成最小值、最小值变成最大值、等等。
如果一个变量的取值不多（如7-分量表），可用如下指令来反转：如果变量的取值很多或有小数、分数，上述方法几乎不可能，则需要写如下的指令（不知大家现在是否信服了为什么要学syntax吗？）：其中max是x的最大值。
第四步、回到第一步，再次检验转换后变量的分布形状。
如果没有解决问题，或者甚至恶化（如上述的从正偏态转成负偏态），需要再从第二或第三步重新做起，然后再回到第一步的检验，等等，直至达到比较令人满意的结果（见注3）。
1.如同其它统计检验量一样，Skewness和Kurtosis的的标准误差也与样本量直接有关。
具体说来，Skewness的标准误差约等于6除以n后的开方，而Kurtosis的标准误差约等于24除以n后的开方，其中n均为样本量。
由此可见，样本量越大，标准误差越小，因此同样大小的Skewness和Kurtosis在大样本中越可能与正态分布有显著差别。
这也许就是SW在问题中提到的“很多学科都在讲大样本不用太考虑正态分布问题”的由来。
我的看法是，如果小样本的Skewness和Kurtosis是显著的话，一定要转换；在大样本的条件下，如果Skewness 和Kurtosis是轻度偏差，也许不需要转换，但如果严重偏差，也是要转换。
2.大家知道，根号里的x不能为负数，对数或倒数里的x不能为非正数（即等于或小于0）。
如果你的x中有是负数或非正数，需要将其做线性转换成非负数（即等于或大于0）或正数（大于0），如 COMPUTE nx = SQRT (x - min) 或 COMPUTE nx = LN (x - min + 1)，其中的min是x的最小值（为一个非正数）。
不是任何分布形态的变量都可以转换的。
例外之一是“双峰”或“多峰”分布（distribution with dual or multiple modality），没有任何公式可以将之转换成单峰的正态分布。