(力学)第4章(修)
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力的瞬时作用规律——第二章 牛顿第二定律 力对时间积累作用规律——第三章 动量定理 力对空间积累作用规律——？
E
第四章 功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动 量会改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的 累积（功）会使质点的能量（动能和势能）发生变化。 对功和能的研究，是经典力学中重要的组成部分。
解： AFdx
平衡时：kxm g xmg 0.1m
k
F
20cm
I. 01c0m Fkx
A100.1kxd 1 2xk2x1J
I.I1 02c0m Fmg
0 .2
A 20 .1mg m d(0 .g x 2 0 .1 )2J
AA 1A 23J
E
§4-2 动能定理
Theorem of Kinetic Energy
正 v0
f mg
解：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
A EkEkEk0
m gfH01 2m02 v
f mv02 mg1N 2H
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[例]质量为M的木快静止在光滑的水平面上，质量为m、速度为 v 的子弹
沿水平方向打入木块并陷在其中，试计算相对于地面木块对子弹所做的功 W1及子弹对木块所作的功W2。 解：木块、子弹系统水平方向不受外力作用，动量守恒。
陨石落地过程中，万有引力的功
地球 O
AF dr R R hG r2M dr m GM R R hd r2 r m R G (R M h) mh
v 2GM R(Rhh)v02
E
[例]把一质量为m＝0.4 kg的物体，以初速度v 0＝20 m/s竖直向上抛出，测 得上升的最大高度H＝16 m，求空气对它的阻力f（设为恒力）等于多大？
B A F id r A i
i
结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。
3.功率
功率的定义：单位时间内所做的功。即
P limAdA
t0 t dt
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4.一对力的功
设两个质点m1和m2之间的相互作
用力为： f12——质点1受质点2的作用力； f2 1——质点2受质点1的作用力。
dr1
f12
E
[例]在如图所示系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力 F通过不可伸长的
绳子和倔强系数k=200N/m的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体，物体质量
M=2Kg ,初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉下20cm的过程中，F 所做的功
为（重力加速度g取10m/s2) [
]
( A ) 2 J( B ) 1 J( C ) 3 J( D ) 4 J( E ) 2 J0
(A)动量不守恒，动能守恒．
(B)动量守恒，动能不守恒．
(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒．
与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒 定律），是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
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§4-1 功
Work
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1.功的定义
功——力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。
—位设移质元dr点受，力则为该F力，做它功d的A空表间示位为置发生一无限小的位移—
d A F td rF d rcosd AFdr
E
1.质点的动能定理
力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？
考虑合力的功：
过程量A A B F d r A B F td r m A B d dd v r t m v v A B vdv
即状态量 1mv来自2A12mvB2 12mvA2
AEk BEk A
2
在B点的取值
状态量 1 mv 2 2
用下质点的运动方程为 X3t4t2t3 (S)I。在0到4s的时间间隔内：
（1）力 F 的冲量大小I=
(2)力 F对质点所作的功W=
解： I F dW t F d r Fma
vdx38t3t2 dt
adv86t dt
IF d0 4 t8 6 td t 8 t 3 t20 4 16
W F d 8 6 x t v d 0 4 ( 8 t6 t ) 3 8 t 3 t 2 d 1 t 7
动能定理：合外力对质点
在A点的取值
引入动能 Ek：
所做的功等于质点动能的增量。
Ek
1mv2 2
p2 2m
功是能量传递或转化的量度。
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[例]如图所示陨石在距地面高h处时速度为v0．忽略空气阻力，求 陨石落地的速度.令地球质量为M, 半径为R, 万有引力常量为G．
解： 根据动能定理
h v0
AEK1 2mv21 2mv0 2
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[例]已知地球质量为M，半径为R．一质量为m的火箭从地面上升到距地面
高度为2R处．在此过程中，地球引力对火箭作的功为
___________________． 解：选择地心为原点，坐标轴如图所示
A
3R R
GMm r2 dr
GMm3R rR
O
GMm 1 1 2GMm 3R R 3R
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[例]一个力作用在质量为1.0Kg的质点上，使之沿x轴运动。已知在此力作
设子弹打入后二者的共同运动速度为V
mvm M V
木块对子弹所做的功： （对子弹应用动能定理）
W 1 E K 子 1 2 弹 m 2 1 2 V m 2 m v 2 m M M M 2 m v 2
子弹对木块所作的功： （对木块应用动能定理）
W21 2M2V02M m2m V M22
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[例]人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则 卫星的[ C ]
元功
注意：功是一个标量。 有正有负：
L B
当 090时， dA0； 当 9018时0， dA。0
F
dr
质点沿曲线 L从 A
到 B，整个路径上的 功为元功之和：
B A Fdr
A
A
线积分
L
E
2.合力的功
如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力
的功：
A A B F d r A B i F i d r i
f2 1
m
2
dr2
m1
这两个力的元功之和为：
d d A f1 dd 2 d rr1r A 21 f 1 df d2 d 2 ((rr r 11 2d 1 r 2 rr 2f 1)2 )f1表表d 2 1 d 示示r r 2 1 mm 21相相f1 与对对2 参d 于于r 2 照mm 12系的的ff的1 1 相相选对2 对2 (d d 取位位(r1 r无1 移移 关d 。；rr 2 2 ))