【成才之路】 高中数学 新人教A 版必修3基础巩固一、选择题1．下列事件中，不可能事件为( ) A ．钝角三角形两个小角之和小于90° B ．三角形中大边对大角，大角对大边 C ．锐角三角形中两个内角和小于90° D ．三角形中任意两边的和大于第三边 [答案] C[解析] 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C 为不可能事件，而A 、B 、D 均为必然事件．2．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( ) A ．3个都是正品 B ．至少有一个是次品 C ．3个都是次品 D ．至少有一个是正品[答案] D[解析] A 、B 都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件．3．下列事件：①如果a >b ，那么a －b >0.②任取一实数a (a >0且a ≠1)，函数y ＝log a x 是增函数． ③某人射击一次，命中靶心．④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球． 其中是随机事件的为( ) A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③[答案] D[解析] ①是必然事件；②中a >1时，y ＝log a x 单调递增，0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，故是随机事件；③是随机事件；④是不可能事件．4．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A 表示正面朝上这一事件，则A 的( )A ．概率为35B ．频率为35C ．频率为6D ．概率接近0.6 [答案] B[解析] 抛掷一次即进行一次试验，抛掷10次，正面向上6次，即事件A 的频数为6，∴A 的频率为610＝35.∴选B.5．下列说法中，不正确的是( )A ．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8B ．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7C ．某人射击10次，击中靶心的频率是12，则他应击中靶心5次D ．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4 [答案] B6．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37[答案] A[解析] 取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11＝53(次)，所以取到号码为奇数的频率为53100＝0.53.二、填空题7．已知随机事件A 发生的频率是0.02，事件A 出现了10次，那么共进行了________次试验．[答案] 500[解析] 设共进行了n 次试验， 则10n＝0.02，解得n ＝500.8．一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．[答案] 0.03[解析] 在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为60020 000＝0.03，所以估计其破碎的概率约为0.03.三、解答题9．设集合M ＝{1,2,3,4}，a ∈M ，b ∈M ，(a ，b )是一个基本事件． (1)“a ＋b ＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“a <3且b >1”呢？ (2)“ab ＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“a ＝b ”呢？(3)“直线ax ＋by ＝0的斜率k >－1”这一事件包含哪几个基本事件？[解析] 这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(1)“a ＋b ＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．“a <3且b >1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)． (2)“ab ＝4”这一事件包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)； “a ＝b ”这一事件包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)． (3)直线ax ＋by ＝0的斜率k ＝－ab>－1，∴a <b ，∴包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 10．2016年第31届夏季奥运会将在巴西的里约热内卢举行，为备战奥运会，某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数，如下表：(2)根据(1)中的数据预测两名运动员在奥运会上击中10环的概率．[探究] (1)击中10环的次数m 除以射击总次数n 就是击中10环的频率；(2)随着射击次数的增加，击中10环的频率就会稳定于某个常数，这个常数就是击中10环的概率．[解析] (1)两名运动员击中10环的频率如下表：(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以预测两人在奥运会上击中10环的概率均约为0.9，也就是说甲、乙两人的实力相当．[点评] 概率实际上是频率的科学抽象，是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关．求某事件的概率，可以通过求该事件的频率来解．[解题技巧] (1)随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量\”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．(2)此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率．能力提升一、选择题1．(2015·广西桂林期末)已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析] ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．2．下列说法不正确的是( )A．不可能事件的概率为0，必然事件的概率是1B．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8C．“直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)”是必然事件D．势均力敌的两支足球队，甲队主场作战，则甲队必胜无疑[答案] D[解析] A、B、C均正确．甲、乙两支球队势均力敌，不论在何处比赛，甲队都有可能输掉比赛，故D不正确．3．下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定[答案] C[解析] 必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错．B、D混淆了频率与概率的概念，也错．4．(2015·山东枣庄质检)一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为( )A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}[答案] C[解析] 随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件，故选C.二、填空题5．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．[答案] 16[解析] 至少需摸完黑球和白球共15个．6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的概率是________．[答案] 0.9 0.3[解析] 打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为910＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是310＝0.3.三、解答题7．(2013·天津高考节选)某产品的三个质量指标分别为x、y、z，用综合指标S＝x＋y ＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：[分析] 先计算10件产品的综合指标以及其中满足S ≤4的产品个数，算出这次统计样本的一等品率，再估计该批产品的等品率．[解析] 计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.8．(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． [解析] (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.。