审定成绩：重庆邮电大学硕士研究生课程设计报告（《线性系统理论》）设计题目：汽车机器人建模学院名称：自动化学院学生姓名：专业：控制科学与工程仪器科学与技术班级：自动化1班、2班指导教师：蔡林沁填表时间：2017年12月重庆邮电大学摘要汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,应用现代控制理论设计出很多控制算法,对汽车进行控制是非常必要的，本文以汽车机器人为研究对象，对其进行建模和仿真，研究了其模型的能控能观性、稳定性，并通过极点配置和状态观测器对其进行控制，达到了一定的性能要求。
这些研究为以后研究汽车的自动驾驶和路径导航，打下了一定的基础。
关键字:建模、能控性、能观性、稳定性、极点配置、状态观测器目录第一章绪论 (1)第一节概述 (1)第二节任务分工 (2)第二章系统建模 (2)2 系统建模 (2)2.1运动学模型 (2)2.2自然坐标系下模型 (4)2.3具体数学模型 (6)第三章系统分析 (7)3.1 能控性 (7)3.1.1 能控性判据 (7)3.1.2 能控性的判定 (8)3.2 能观性 (10)3.2.1 能观性判据 (10)3.2.2 能观测性的判定 (12)3.3 稳定性 (13)3.3.1 稳定性判据 (13)3.3.2 稳定性的判定 (14)第四章极点配置 (15)4.1 极点配置概念 (15)4.2 极点配置算法 (15)4.3 极点的配置 (16)4.4 极点配置后的阶跃响应 (17)第五章状态观测器 (18)5.1概念 (19)5.2带有观测器的状态反馈 (20)5.3代码实现 (21)5.4 极点配置和状态观测器比较 (23)第六章总结 (25)参考文献 (26)附件（设计程序） (27)第一章绪论第一节概述进入20世纪,汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 但是随着汽车数量的增加,交通事故的数量每年也不断增长,这严重威胁了人们的生命、财产安全,究其主要原因是由于驾驶员的疲劳驾驶造成的. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,也是国内外研究的热点之一。
汽车机器人,其模型可简化成两轮的自行车模型,国内的学者在这方面作了很多深入的研究,应用现代控制理论设计出很多控制算法,取得很多成绩,但其中绝大多数应用环境是在室内,被跟踪轨迹已知,并且其控制方法是将车体的横向位移、纵向位移、纵向速度和转动的角速度等作为被控量,这在应用环境异常复杂城市交通系统中是难实现的。
城市环境下的无人驾驶车由于速度较慢,因此比较安全可靠,它有广阔的应用前景,短期内,可作为城市大容量公共交通(如地铁等) 的一种补充,解决城市区域交通问题,因此,城市环境下的无人驾驶车辆系统的研究已经成为目前的研究热点,但是,由于城市环境非常复杂,对感知和控制算法提出了很高的要求.第二节任务分工本设计由4位同学分工完成，每位同学的任务分工如表1-1所示：表1-1任务分工表第二章系统建模2 系统建模汽车机器人是一种非线性、多变量、强耦合、参数不确定的复杂系统，是检验各种控制方法的一个理想装置，受到广大研究人员的重视，成为具有挑战性的课题之一。
为了对其运动进行控制，就需要对汽车机器人进行数学建模。
2.1运动学模型汽车机器人其运动模型如图2-1：图2-1 汽车机器人模型模型中相关参数及意义如下：--前后轮间距离;--两前轮中心点的速度;--两后轮中心M点的速度;--前轮转向角；--为车体航向角;--后轮中心点M 距X 轴距离;--后轮中心点M 距Y轴距离。
假设两个轮子有相同的速度v（尽管在实际情况中，转弯时内轮比外轮慢），一切情况似乎只在位于车轴中心线的两个虚拟轮子上发生[1]。
如下图2-2：图2-2 汽车机器人简化模型由速度合成规则有：系统演化的基本方程：由于前轮加速度和前轮转角的角速度不能无穷大，所以有增补方程：2.2自然坐标系下模型自然坐标系的描述如下：原点: 在被跟踪轨线上的某一被测到的点；X 轴: 按右手定则垂直X 轴；Y 轴: 与过该被测点的切线重合,正方向与车体正方向相同。
图2-3自然坐标系下的汽车机器人模型在汽车的运动过程中，能给予直接控制的有两种：前轮的加速度和方向盘的角度。
此处表示前轮与汽车中轴线之间的夹角，也就是方向盘的角度；汽车的位置需要3个量来表示：为汽车中轴线与水平轴线之间的夹角；汽车的位置（汽车后桥中心的位置）；以及汽车方向盘角度。
当汽车在未知道路形状时，切没有GPS可以定位时，对汽车的模型进一步研究。
此时，没有了定位系统，只能以自身建立坐标系，y失去了意义，x仍然是与边缘的距离，将上页(1)式子代入(3)(4)式,并去掉y(t),得到：2.3具体数学模型取状态变量如下：输入为：前轮加速度前轮转角角速度输出为：后轮中心点M 距X得到状态空间表达式为：，此时具体的状态空间模型为：第三章系统分析在本章中，主要对系统进行能控性、能观性及稳定性的判定。
其中，能控、能观性有三种判据，本文主要采用了秩判据和约当规范形判据来判定汽车机器人模型是否能控、能观。
在稳定性判定中，有很多判定方法，如：特征值判据、李雅普罗夫判据、变量梯度法等，而本文主要采用的是特征值及极点是否有负实部来判定系统是否稳定。
3.1 能控性能控性，如果系统内部每个状态变量都可以由输入完全影响，则系统的状态为能控。
3.1.1 能控性判据（1）能控性格拉姆矩阵判据考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为：为完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵为非奇异。
（2）能控性秩判据对n维连续时间线性时不变系统，构成能控性判别矩阵：则系统完全能控的充分必要条件为：（3）能控性PHB秩判据对n维连续时间线性时不变系统，完全能控的充分必要条件为：或其中，为复频域，为系统特征值。
（4）能控性约当规范形判据对n维连续时间线性时不变系统，设n个特征值为为两两相异，则系统完全能控的充分必要条件为，对状态方程通过线性非奇异变换导出的约当规范形为：矩阵不包含零行向量，即的各个行向量满足：3.1.2 能控性的判定在本文汽车机器人建模的分析中，主要是用MATLAB对系统进行分析。
在判断所建模型是否能控方面。
Matlab仿真代码如下：SizeofA=size(A);Tc = ctrb(A,B); %能控性判定矩阵rTc = rank(Tc); %能控性判定矩阵的秩disp('能控性判定矩阵的秩');rTcdisp('A的维数');SizeofAif (rTc == SizeofA)disp('The system is controllable')elsedisp('The system is uncontrollable')end其代码运行结果如图3.1所示。
图3.1 能控性MATLAB判定结果由图3.1可得，矩阵A的维数和能控性判定矩阵的维数都是4，因此这个系统是能控的。
同时，本文还采用了约当规范形判据，但是由于MATLAB运行出来的约当规范形矩阵不是标准型，无法判断系统的能控性，因此，在本小节中，得出的是进行极点配置后的系统的约当规范形矩阵，如图3.2所示。
图3.2 极点配置后系统的约当规范形由图3.2可得，矩阵A分成了三个约当块。
在判断能控性时，是观察每个约当块的末行，对应的B矩阵中的相应行，组成的矩阵是否满足行满秩。
若满足，这表示系统完全能控；反之则不可控。
根据图中的A、B矩阵，易得该系统是完全可控的。
3.2 能观性能观测性，如果系统内部每个状态变量都可以由输出完全反映，则系统的状态为能观测。
3.2.1 能观性判据（1）能观测性格拉姆矩阵判据考虑连续时间线性时不变系统，状态方程为：y=Cx为完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵为非奇异。
（2）能观测性秩判据对n维连续时间线性时不变系统，构成能控性判别矩阵：11()T T T T T n TO OnCCAQ Q C A C A CCA--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦或则系统完全能控的充分必要条件为：1OnCCArankQ rank nCA-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）能观测性PHB秩判据对n维连续时间线性时不变系统，完全能控的充分必要条件为：,sI A rank n s C -⎡⎤=∀∈℘⎢⎥⎣⎦或,1,2,,i I A rank n i n C λ-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦其中，为复频域，为系统特征值。
（4）能观测性约当规范形判据对n 维连续时间线性时不变系统，设n 个特征值为为两两相异，则系统完全能控的充分必要条件为，对状态方程通过线性非奇异变换导出的约当规范形为：矩阵不包含零行向量，即的各个行向量满足：3.2.2 能观测性的判定能观测性的判定和能观性一样，也是在MATLAB 上根据程序进行仿真。
以下为Matlab 仿真代码：To = obsv(A,C); %能观性判定矩阵 rTo = rank(To); %能观性判定矩阵的秩 disp('能观性判定矩阵的秩');rTo disp('A 的维数:');SizeofA if (rTo == SizeofA)disp('The system is observable') elsedisp('The system is unobservable') end代码运行结果如图3.3所示。
图3.3 能观测性MATLAB 判定结果由图3.3可得，矩阵A 的维数和能观测性判定矩阵的维数都是4，因此这个系统是能观测的。
采用约当规范形判定能观测性与能控性的判定类似，不过它采用的是A 、C 矩阵。
此时，是观察每个约当块的首列，并取出C 矩阵中的相应列，判断组成的矩阵是否列线性无关，若满足列线性无关，则表示系统完全能观测；反之。
不能完全观测。
由图3.2中的A 、C 矩阵，容易判断出系统是完全能观测的。
3.3 稳定性稳定性也是系统的一个基本结构特性，它又可分为基于输入输出描述的外部稳定性，也称BIBO 稳定性；和基于状态空间的内部稳定性。
其中，对于灵初始条件p 维输入和q 维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻，则系统BIBO 稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)所有极点均具有负实部。
对于内部稳定性，其渐进稳定的充分必要条件为：系统矩阵A 所有特征值均具有负实部，即下式成立：{}Re ()0,1,2,,i A i nλ<=3.3.1 稳定性判据 （1）特征值判据对n 维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即雅普罗夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均为具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多相式的单根。