【定义】设整数 a 与整数 n 互素且 n > 0 ，若 ordna = φ(n) ，则称 a 是模 n 的一个原根。 〖例子〗 ord7 3= 6= φ(7），因此 3 是 7 的一个原根。
6、等价关系，举例说明。
【定义】设 R 是某个集合上的一个二元关系。若满足以下条件： （1）自反性： ∀x ∈ A ， xRx ； （2）对称性： ∀x, y ∈ A ， xRy ⇒ yRx ；
〖例子〗
G 是全体整数的集合， G 对于普通加法来说作成一个群。 G 是所有不等于零的整数的集合， G 对于普通乘法来说不作成一个群。（不满足 4） G 是全体不等于零的有理数的集合，那么 G 对于普通乘法来说作成一个群。 G 是全体整数的集合， G 对于普通减法来说不作成一个群。（不满足 2） 4、什么是一个群 G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。 【定义】若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 a 的乘法，我们就把 G 叫做循环群；我们也说， G 是由 a 所生成的，并且用符号 G = (a) 表示。 a 叫做 G 的一个生成元。 【定义】一个群 G 的一个子集 H 叫做 G 的一个子群，假如对于 G 的乘法来说做成一个群。一个群 G 的一 个不空子集 H 做成 G 的一个子集的充分必要条件是： （1） a,b ∈ H ⇒ ab ∈ H ； （2） a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H ； （3） a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H 。
【定义】一个集合 A 的代数运算 适合结合律，假如对于 A 的任何三个元 a, b, c 来说，都有：
(a b) c = a (b c) 。
〖例子〗
（1） A = {所有不等于零的实数} ， 是普通除法，a b = a / b ，这个运算 不适合结合律。(4 / 2) / 2
单位元和一个元素的逆元素是唯一的。
9、什么叫做一个群的左、右陪集，有限群的左、右陪集的个数是什么关系？
由等价关系 所决定的类叫做子群 H 的右陪集。包含元 a 的右陪集用符号 Ha 来表示。 a b, b−1a ∈ H ，


Ha 为右陪集。
由等价关系 ′ 所决定的类叫做子群 H 的左陪集。包含元 a 的左陪集用符号 aH 来表示。a b, ab−1 ∈ H ，
〖补充〗
设 G = a 是循环群。
（1）若 G 是无限循环群，则 G 只有两个生成元，即 a 和 a−1 。 （2）若 G 是 n 阶循环群，则 G 含有ϕ(n) 个生成元。对于任何小于等于 n 且于 n 互质的正整数 r ，ar 是 G
的生成元。
ϕ(n) 是欧拉函数。对于任何正整数 n ，ϕ(n) 是小于等于 n 且与 n 互质的正整数个数。
下，不管 a 和 b 是 A 的哪两个元，只要 a → a,b → b 就有 a b → a b 。


〖例子〗
φ ：a →1。
8、检错和纠错 【定义】信息位上增加一部分位数来进行检错和纠错。检错：能够检查出有错，但不知道错在哪里。纠错： 能够检查出错误并准确定位，同时纠正错误。 9、理想和商环
【定义】环 R 的一个非空子集ℵ 叫做一个理想子环，简称理想。
13、集合的直积是怎么定义的
【定义】令
A1
,
A2
,
,
An
是
n
个集合。由一切从
A1
,
A2
,
,
An
里顺序取出的元素组
(
a1
,
a2
,
,
an
)
(ai
∈
Ai
)
所做成的集合叫做集合
A1
,
A2
,,
An
的积，记成
A1
×Hale Waihona Puke A2× ×
An
。
14、循环群的子群是循环群吗？
是
〖证明〗设 H 是循环群 G 的子群， a 是 G 的生成元。
左陪集： (1)H = {(1), (12)} 、 (13)H = {(13), (132)} 、 (23)H = {(23), (123)}
右陪集： H (1) = {(1), (12)} 、 H (13) = {(13), (123)} 、 H (23) = {(23), (132)}
5、原根，举例说明。
（3）这个乘法适合结合律；
（4）两个分配律都成立： a(b + c) = ab + ac 和 (b + c)a =ba + ca 。
【定义】一个环 R 叫做一个整环，假如： （1）乘法适合交换律： ab = ba ； （2） R 有单位元1，1=a a=1 1； （3） R 没有零因子： ab = 0 ⇒ a = 0 或 b = 0 。 这里 a, b 可以是 R 的任意元。
(−1)m
=
(1−1 )m
=
1−m
，0
= 10 ，


∴ Z = (1) 。
3、有限域，举例说明。
【定义】包含有限个元素的域被称为有限域。
〖例子〗
设 q 为素数，则整数全体关于 q 的剩余类[0],[1], ,[q −1] 在模 q 的情况下做加法和乘法运算，构成 q 阶有
限域。
4、群的左、右陪集，举例说明。
三、证明知识点
1、叙述并证明 Lagrange 定理。
【定理】假定 H 是一个有限群 G 的一个子群，那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并
且 N = nj 。
【证明】有限群 G ， H ≤ G ，则 G= H •[G : H ] 。
证明：因为 H ≤ G ，所以 H 也是有限群，从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限。
【定义】
由等价关系 所决定的类叫做子群 H 的右陪集。 a b, b−1a ∈ H ， Ha 为右陪集。


由等价关系 ′ 所决定的类叫做子群 H 的左陪集。 a b, ab−1 ∈ H ， aH 为左陪集。


3
〖例子〗
G= S=3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} 子群： H = {(1), (12)}
不等于 4 / (2 / 2) 。
（2） A = {所有实数} ， (a,b) —— a + 2b = a b ，这个运算不适合结合律。
6、已知群 G 的元素 a 的阶是 n ，那么 am 的阶是 n 。 (n, m)
7、环、整环、除环、域
【定义】一个集合 R 叫做一个环，假如： （1） R 是一个加群，换一句话说， R 对于一个叫做加法的代数运算来说作为一个交换群； （2） R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是封闭的；
近世代数复习
一、单选、填空知识点
1、任何有限群 G 的子群 H 的阶数是 G 阶数的因子。
2、任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群。 3、群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。
【定义】一个不空集合 G 对于一个叫作乘法的代数运算来说作为一个群，假如： （1） G 对于乘法来说是封闭的； （2）结合律成立： a(bc) = (ab)c ； （3） G 里存在一个左单位元 e ，能让 ea = a ，对于任意元 a 成立； （4）对于 G 的每一个元 a ，在 G 里至少存在一个左逆元 a−1 ，能让 a−1a = e 。
○1 a ∈ H ；
E
A
○2 a ∉ H 。
E
A
因 H 中每个元素都可以表示成 a 的幂次形式，设 ak 是 H 中幂次最小的正整数。 对任意的 al ∈ H ，=l mk + r （ 0 ≤ r ≤ k −1） 目标 r = 0
15、一个集合可以和其真子集建立一一对应吗? 不能，集合>真子集
二、问答知识点


aH 为左陪集。
左陪集和右陪集个数相等。
2
10、环无零因子是什么意思？
环 R 无零因子，当且仅当，对任意的 a,b ∈ R ， ab = 0 ⇒ a = 0 或 b = 0 。
11、无零因子的特征是什么意思？
【定义】一个无零因子环 R 的非零元的相同的（对加法来说的）阶叫做环 R 的特征。 12、有限群 G 的任何元素的阶数都是 G 阶数的因子。
a= j H
H，
【证明】
我们只须证明 F 的不等于零的元作成一个乘群 F ∗ 。因为乘法适合结合律，而 F ∗ 又是一个有限集合， F ∗
4
作成乘群的条件是：Ⅰ、 F ∗ 对于乘法来说是闭的，Ⅲ’、消去律成立，但 Ⅰ、由于 p 是素数， p a, p b ⇒ p ab 这就是说，[a] ≠ [0],[b] ≠ [0] ⇒ [a][b] = [ab] ≠ [0] 换一句话说，[a],[b]∈ F ∗ ⇒ [a][b]∈ F ∗ Ⅲ’、 p | ax − ax′ = a(x − x′) ， p a ⇒ p | x − x′ 这就是说，[= ax] [ax′],[a] ≠ [0] ⇒= [x] [x′] 换一句话说，[= a][x] [a][x′],[a]∈ F ∗ ⇒= [x] [x′] 这样， F ∗ 果然是一个乘群，而 F 是一个域。 3、设 a, b 是任意两个不全是零的整数。 （1）若 m 是任一正整数，则 (am,bm) = (a,b)m ；
设 [G : H ] = r ，且 G = a1H a2H ar H ，由定理 1， ai H a j H = ϕ 且 a= i H 所以 G a= 1H + a2H ++ ar H =r H H [G : H ]。
2、我们看一个模 p （ p 是素数）的剩余类环 F 。我们说， F 是一个域。
2、循环群，举例说明。