解：f
的矩阵为
A
1 2
2 2
0 2
0 2 3
返回 上一页 下一页
1 2 0 AE2 2 2 (1 )(2)(5), 1 ,2,5
0 2 3
1 1时， 2
A1E2
0
2 3 2
0 1 2~0 4 0
0 1 0
022，
x1 x2
2x3 2x3
令 x3
1
，则
x1 x2
2 2
，
1
2
2
3
5
q1
b1 b1
1 5
,
q2
b2 b2
3
4 5
0
5
3 5
返回
上一页 下一页
当 3 7时，解方程组A7Ex0，即
8 2 2 x1 0
2
5
4
x2
0
由于
2
8 2 2 2 4 2 5 4 0 9
4 5 x3 0
5 2 9 0
4 1
5 2 1 0
0 1
1 1 1 0
例如，二次型 f x 1 2 x 2 2 x 4 2 2 x 2 x 3 x 2 x 4 的
1 0 0 0
矩阵
A
0
0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
。
返回 上一页 下一页
定义2：f k 1y 1 2 k2y2 2 knyn 2称为二次型 的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负)
系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。
f x1,x2,x3 =x122x1x2 2x1x34x224x328x2x3
=x122x1 x2 x3 4x224x328x2x3
=
x1
x2 x3
2
x2 x3
2 4x22 4x32 8x2x3
2
2
= x1 x2x3 3 x2 x3
返回 上一页 下一页
令
y1
x1
x2
x3,
返回 上一页 下一页
2 5
2 35
1
3
P
q1 ,
q2
,
q3
1 5
4 35
2
3
0
5 35
2 3
为正交矩阵，且
2
PT
AP
2
7
返回 上一页 下一页
作正交变换 x Py,即
x1 x2 x3
2 5 1 5
0
2 35
4 35
5 35
1
3 2 3 2 3
y1 y2 y3
1 6 1 6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1 3 1
y1 y2 y3
3
返回 上一页 下一页
原二次型可化为 f 4y229y32 由于方程在4y22 9y32 1在三维空间中表示椭圆柱 面，二正交变换不会改变几何特征，故
f x1,x2,x3 1也表示椭圆柱面。
例5.4 求一个正交变换，将二次型
例5.1 将二次型 f= x 1 2 2 x 1x 2 2 x 2x 3 2 x 3 2写成矩 阵表示形式。
解：f的系数矩阵为
1 1 0
A
1 0
0 1
1 2
返回 上一页 下一页
故f的矩阵形式表示式为
1 1 0 x1
f x1,x2,x31
0
1x2
0 1 2 x3
返回 上一页 下一页
问题：如何求可逆线性变换
故原二次型可化为 f 2y122y2 27y3 2。
返回 上一页 下一页
例5.5 求可逆变换化二次型
fx 1 , x 2 , x 3 = x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 8 x 2 x 3
为标准形，并写出所作的变换矩阵。
解：由于f含x1的平方项，将含x1的项归并进行配 方，得
(2)对称矩阵A负定( f xT Ax 负定) A的奇 数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，即
(1)k Ak 0
参考题2、判定二次型f 5 x2 6 y2 4 z2 4 x y 4 xz 的正定性。
返回 上一页 下一页
解：f
的矩阵为
A
5 2
2 6
2 0
。
2 0 4
5 2 2 5 2 A 1 50 ,A 22 62 60 ,A 32 6 0 8 0 0
x1 c11y1 c12y2 c1n yn
x2
c21y1 c22y2
c2n yn
xn cn1y1 cn2 y2 cnnyn
将二次型化为标准形。
返回 上一页 下一页
解：令 C ( c i j) n n ,x x 1 ,x 2 ,L ,x n T ,y y 1 ,y 2 ,L ,y n T 则线性变换记为x Cy 。
解：二次型f的矩阵为
由于
1 1 t A1 2 0,
t 0 1
11 t A1 2 012t2
t 01
a111,
a11 a12111, a21 a22 12
A12t2
当二次型f正定时，必有 A12t2 0，故 t
1。
2
返回 上一页 下一页
例5.8 判别二次型 f= 5 x 1 2 6 x 2 2 4 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 的 正定性。 解：二次型f的矩阵为
fx 1 , x 2 , x 3 = 5 x 1 2 5 x 2 2 3 x 3 2 2 x 1 x 2 6 x 1 x 3 6 x 2 x 3
化为标准形，并指出 f x1,x2,x3 1表示何种二次
曲面 。
5 1 3
解：二次型f的矩阵 A1 5 3,rA 2,
由于
3 3 3
5 1 3
AE 1 5 3 49
3 3 3
返回 上一页 下一页
故矩阵A的特征值为10,24,39，各特征值
对应的线性无关的特征向量分别为
1 1 1
p1 1 , p2 1, p3 1
2
0
1
由于A的三个特征值互异，故 p1, p2, p3两两正交，
将其单位化，得
返回 上一页 下一页
1
y2 x2 x3,
y3
x3,
即
x
1
y1
y2,
x2 y2 y3,
x
3
y3,
则二次型化为 f =y12 3y22。所用变换矩阵为
1 1 0
P
0 0
1 0
1 1
显然P可逆 P 1 ，但P不是正交矩阵。
返回 上一页 下一页
§2、正定二次型与正定矩阵
定义3：若对任何 x0，都有
f x T A x 0f x T A x 0，则称 f 为正定(负
0 2 2 0 0 0
x1 x2
1 2
x3,
x3
令x3
2,
则
x1 x2
1 2
， 1
1 2 2
，
p3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
，故所求正交变换为x=Py，
P
2 3
1 3
1 3
2 3
2 3
2 3
标准形为 f y122y2 25y3 2。
返回 上一页
下一页
例5.2 已知二次型 f= 5 x 1 2 5 x 2 2 x 3 2 2 x 1 x 2 6 x 1 x 3 6 x 2 x 3
的秩为2，求参数 。 5 1 3
解：二次型f的矩阵为
A
1
5
3
3 3
由于f的秩为2，即 r A 2，故 A 0 ，即
5 1 3
1 5 3 24 3 0
3 3
解得 3 。显然，A中左上角的二阶子式非零，
故 3 时，r A 2。
返回 上一页 下一页
例5.3 求一个正交变换，将二次型
f x T A x C y T A C y y T C T A C y ，显然，当
C T A C 为对角形时，f 即为标准形。故问题可 转化为“对对称阵，求一可逆阵C，使C T A C 为对角形”。
将Ch4§4中定理11“若A对称，则必有正交 阵P，使 P 1 A即P P T A为P 对角阵”应用于二次 型，则有如下定理：
定)二次型，并称矩阵A为正定(负定)的，记为 A>0(A<0)。
定理2：n元二次型 f xT Ax 正定 其标 准形中的n个系数全为正，即 f 的正惯性系数 为n f 的个特征值全为正。
定理3：(1)对称矩阵A正定( f xT Ax 正定)
返回 上一页 下一页
A的各阶主子式全为正，即
A 1a11 0,A 2a a1 21 1a a1 22 20,,A na a1 n11 a a1 nnnA0
0 1
1 2 1
2 4 5 0 18 18 0 0 0
同解的方程组为
x1
1 2
x3
0 0 0
0 0 0
x 2 x 3
返回 上一页 下一页
1
基础解系为 p 3
2
2
故特征值 3 7对应的线性无关的特征向量
1
为p 3
2
1
2
3
将单位化，得 q 3
2 3
，故
2 3
解：设λ为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α ，
由于
5 2 2 A2 6 0,
2 0 4
5 2 2 A2 6 0 80
2 0 4
a115,
a11
a12