G3πρ.
► 探究点三 航天器的动力学分析与变轨问题
提供天体做圆周运动的向心力是该天体受到的万有引力 F 供＝ GMr2m，天体做圆周运动需要的向心力是 F 需＝mvr2.当 F 供＝F 需时，天 体在圆轨道上做匀速圆周运动；当 F 供＞F 需时，万有引力充当向心力 过余，天体做向心运动；当 F 供＜F 需时，万有引力充当向心力不足， 天体做离心运动．
围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球
与地球绕O点运动的线速度大小之比约为( C )
A．1∶6400 B．1∶80 C．80∶1 D．6400∶1
例 4 变式题 1 C 【解析】 月球和地球绕 O 点做匀速圆周运动， 它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力大小 相等．且月球、地球和 O 始终共线，说明月球和地球有相同的角速度 和周期．因此有 mω2r＝Mω2R，所以Vv＝Rr ＝Mm，线速度和质量成反比， 正确答案 C.
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C．由已知条件可求月球的密度
D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大
例 3 变式题 AD 【解析】 因轨道Ⅲ的运动半径大于月球半径， 由 GMr2m＝mrv2知，卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比卫星在接近月球表面 的轨道上的运动速度小，即比月球的第一宇宙速度小，选项 A 正确； 卫星在圆轨道Ⅲ上经过 P 点做匀速圆周运动，有 GMr2m＝mrv2，卫星在 椭圆轨道Ⅰ上经过 P 点后做离心运动，有 GMr2m<mvr′2，所以 v<v′， 选项 B 错误；
► 探究点二 天体质量和密度的估算问题
1．已知环绕天体的周期 T 和半径 r，求中心天体的质量、密度 由 GMr2m＝m4Tπ22r 可知： M＝4GπT2r23.设中心天体的半径为 R，则 V ＝43πR3，其密度为 ρ＝MV ，联立解得 ρ＝G3Tπ2rR3 3. 若测得中心天体的近表卫星周期 T，此时 r＝R，则中心天体的平均 密度为 ρ＝G3Tπ2.可见只需要测得中心天体近表卫星的周期，就可以得到 中心天体的密度． 2．在星球表面附近，重力近似等于万有引力，即 mg＝GMRm2 ，可 求得星球质量 M＝gGR2，或星球表面的重力加速度 g＝GRM2 .
运行半径较大的人造卫星的一般发射过程如图所示，先将卫星发射 到离地面较近的圆轨道Ⅰ上，运行稳定后再启动火箭(或发动机)短暂加 速(位置 B)，由于速度变大，万有引力充当向心力不足，卫星将沿椭圆 轨道Ⅱ做离心运动，当卫星将沿椭圆轨道运动到椭圆轨道的远地点 A 时，再次启动火箭短暂加速，卫星再次变轨绕圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动．
D 力恰好为零，则天体自转周期为( )
4π
3
A. 3Gρ B. 4πGρ
C.
π Gρ
D.
3π Gρ
例 2 变式题 D 【解析】 物体对天体表面压力恰好为零，则物
体随天体自转需要的向心力恰好由物体受到的万有引力提供：GMRm2 ＝
m2Tπ2R，又 ρ＝MV ＝43πMR3＝43πMR3，联立解得 T＝
(2)物体在地球表面附近受到的重力近似等于万有引力，mg＝GMRm2 (R 为地球 半径)．在地球质量未知的情况下，可应用 GM＝gR2 转换．
要点热点探究
► 探究点一 同步卫星、近地卫星与极地卫星问题
1．地球轨道同步卫星 (1)同步卫星位于赤道正上方，轨道平面与赤道平面共面； (2)同步卫星的轨道半径一定，距离地球表面的高度一定， 约36000 km； (3)同步卫星的运行周期和地球的自转周期相同，T＝24 h， 且转动方向相同； (4)所有地球轨道同步卫星的半径、线速度大小、角速度大小 及周期都相同．
例 3 AC 【解析】 卫星在同一轨道上运行时，只有万有引力做 功，机械能守恒，势能越大，动能就越小，故卫星离地球越远，速度越 小，A 正确；由 I 轨道变到 II 轨道能量要减小，由于在同一高度，故 通过减速(减小动能)达到减小能量的目的，所以 B 错误；根据开普勒定 Байду номын сангаас，RT23＝c，轨道半长轴越短，周期越小，即 R2＜R1，所以 T2＜T1，C 正确；根据 a＝GRM2 知 D 错误．
例 1 [2011·广东卷]已知地球质量为 M，半径为 R，自转周期为 T， 地球同步卫星质量为 m，引力常量为 G.有关同步卫星，下列表述正确的 是( BD )
3 A．卫星距地面的高度为
GMT2 4π2
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为
Mm G R2
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
例 3 [2010·江苏卷] 09 年 5 月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的
维修任务后，在 A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一
AC 点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A．在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于经过 B 的速度 B．在轨道Ⅱ上经过 A 的动能大于在轨道Ⅰ上经过 A 的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过 A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的加速度
10年10月1日18时59分57秒，搭载着“嫦娥二号”卫 星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由 地面发射后，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期 为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探测，如图所示．已知
万有引力常量为G，则(AD)
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
例 2 [2011·福建卷] “嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的 先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近 圆形轨道运行的周期 T，已知引力常量为 G，半径为 R 的球体体积公式
V＝34πR3，则可估算月球的( A )
A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期
例 2 A 【解析】 由 GMRm2 ＝m2Tπ2R，M＝ρV，V＝43πR3，联立 解得 ρ＝G3Tπ2，已知周期 T，就可求密度 ρ，A 正确．
得：a＝GrM2 、v＝
GrM、ω＝
GM r3
、T＝2π
r3 GM
以上表达式中，M 为中心天体的质量，m 是绕行天体的质量．由以上关系
可以看出，当轨道半径 r 增大时，a、v、ω 减小，而 T 增大，且与绕行天体 的质量无关．一旦轨道半径 r 确定，则 a、v、ω、T 的大小也确定．例如所 有地球同步卫星的 r、v、ω、T、a 大小均相等．
B．四颗星的线速度均为
Gam2＋
2 4
C．四颗星表面的重力加速度均为GRm2
D．四颗星的周期均为 2πa
2a 4＋ 2Gm
例 4 变式题 2 ACD 【解析】 四星系统是一个稳定系统，其运 行过程中相对位置不变，即四颗星球的运动周期相同，均绕正方形对 角线的交点做半径 r＝ 22a的匀速圆周运动．每颗星球受到的向心力均 为三颗星球对其产生的万有引力的合力，即 F＝G2ma22＋2·Gam2 2·cos45° ＝2 22＋a21Gm2，由 F＝mrv2，解得 v＝ 4＋4a2Gm，由 F＝m2Tπ2r， 解得 T＝2πa 4＋2a2Gm.由 GmRm2 0＝m0g 知，每颗星球表面的重力加 速度 g＝GRm2.
宇宙中存在一些质量相等的且离其他恒星较远的四
颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四
星系统中每个星体质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为
a 的正方形的四个顶点上．已知引力常数为 G，关于“四星”系统，下
列说法错误的是A( C)D
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
例 1 BD 【解析】 同步卫星绕地球做匀速圆周运动的过程中万 有引力提供向心力，设卫星距离地面的高度为 h，由 GRM＋mh2＝m4Tπ22(R
3 ＋h)，可以得到 h＝
GMT2 4π2
－R，故选项
A
错误；卫星运行受到的向
心力由万有引力充当，即 F 向＝GRM＋mh2，选项 C 错误；第一宇宙速度
【点评】 双星共轴转动，角速度相同，分别对两星列出动力学方 程，并利用两星轨道半径之和等于两星间的距离，联立方程可求解．本 题很容易误认为星球的轨道半径是两星间的距离，或误用轨道半径计算 双星间的引力．
变式题1 月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为
月球和地球可视为一个由两个质点构成的双星系统，它们都
根据“嫦娥二号”卫星的工作轨道半径和周期可求月球的质量， 结合月球半径可求月球密度，但本题月球半径未知，所以无法求得月 球质量和密度，选项 C 错误；“嫦娥二号”由椭圆轨道Ⅰ减速变轨后 进入椭圆轨道Ⅱ，机械能减小，所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨 道Ⅱ上大，D 正确.
► 探究点四 双星问题
“双星”是两颗星相距较近，依靠彼此间的万有引力绕着两星之间 连线上的某点做圆周运动的天体系统．解答“双星”问题要抓住两个要 点，即双星的运动周期相等，向心力大小相等．
为近地卫星的环绕速度，由 GMr2m＝mvr2＝ma，得卫星运行速度 v＝
GrM、卫星运行的向心加速度 a＝GrM2 ，可见当卫星绕行半径 r 增大时， v 与 a 都要减小，所以 B、D 选项正确．
【点评】 解答地球轨道同步卫星问题时，应关注同步卫 星的轨道总在地球赤道正上方、运行周期与地球自转周期相 同且转动方向相同、轨道半径相同等要点．下面的变式题综 合考查地球自转、近地卫星和地球轨道同步卫星的运动问 题．
【点评】 本题根据月球的近表卫星的周期，可求得月球的密度 ρ ＝G3Tπ2，因月球半径未知，不能确定月球的质量．同理，如果知道中心 天体的密度，可求得中心天体的近表卫星周期，见下面的变式题．
[2011·北京卷] 一物体静置在平均密度为 ρ 的球形天体表
面的赤道上．已知引力常量为 G，若由于天体自转使物体对天体表面压
例 4 两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点 O 为 圆心做匀速圆周运动，其质量分别为 m1、m2，如图 1－4－4 所示，