x4 1
x
1
2
dx
x
4
1
1 x2
2
dx
(x2
1)( x2 1 x2
1)
2
dx
(
x2
1
1
2 x
2
)dx
1 x3 x 2arctanx C 3
例3. 求 (10x 10-x )2 dx
解: (10x 10-x )2 dx (102x 10-2x - 2)dx [(102 )x (10-2)x - 2]dx
2
2
sin 2x在(,)上一个原函数
问题： f在什么条件下存在原函数？存在时其个数? 若f存在原函数,如何求?
2 原函数存在定理
定理8.1若函数f 在区间I上连续,则f 在I上 存在原函数F,即 F '(x) f (x), x I.
•注1:初等函数在其定义域存在原函数. •注2:连续是原函数存在的充分而非必要条件
8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10)
dx arcsin x C 1 x2
10 (arcsin x)'
1 1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
1 (arctanx)' 1 x2
f (x)dx F(x) C
其中C为任意常数
y y = F(x)+C1
y = F(x)+C2
y = F(x)+C3 y = F(x)+C4
0
x0
x
2. 不定积分的性质：
(1) ( f (x)dx)' f (x),先积后导正好还原 或d[ f (x)dx] f (x)dx,
(2) f '(x)dx f (x) C,先导后积需加上一个任常数
或 df (x) f (x) C.
3 不定积分的几何意义
函数f(x)的原函数的图 形称为f(x)的积分曲线。
函数f(x)的积分曲线有 无限多条。函数f(x)的不定 积分表示f(x)的一簇积分曲 线，而f(x)正是积分曲线的 斜率。
2xdx x2 C
y
y=x2+C1 y=x2
C1 -1 O 1
2 线性运算法则
定理8.3 若函数f与g在区间I上存在原函数, k1, k2为 两个任意常数,则k1 f k2g在I上也存在原函数,且
[k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx (5)
注 线性运算法则的一般形式为
n
n
ki fi (x)dx ki fi (x)dx (6)
3 原函数之间的关系 定理8.2 如果F是 f 在I上的一个原函数 ，则 (1) FC 也是 f 在I上的原函数，其中 C 是任意常数。 (2) f 在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
y=x2+C2 y=x2+xC3
C2
C3
二. 基本积分公式
1 基本积分表 积分公式
导数公式
1) kdx kx C (k为常数)
1 (kx c)' k
2)
x
dx
1
1
x
1
C
( 1)
2 (x1)' ( 1)x
1
3) xdx ln | x | C
3 (ln x)' 1 x 0 x
(ln(x))' 1 x 0 x
dt
mm
这归结为已知dv 求v, dt
由求导运算
( A cost c)' Asist c m
c由初始时刻是静止的 (v(0) 0)确定
•一 原函数与不定积分 • (一)原函数概念
1 定义1 设函数 f与F在区间 I 上有定义,若
F (x)f(x), x I
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
例4. 求
c os2
1 x sin2
x
dx
解:
1 dx cos2 x sin2 x
则称函数 F为函数 f 在区间 I 上的一个原函数。
如: (1 x3)' x2, x (,) 3
F(x) 1 x3是x2在(,)上一个原函数 3
再如 : x (,)时
( 1 cos 2x)' ( 1 cos 2x 1)' (sin 2 x)' sin 2x,
2
2
F (x) 1 cos 2x, 1 cos 2x 1,sin2 x是
数学分析第八章 不定积分
第八章 不定积分
§1不定积分的概念与基本积分公式
在第五章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数
f 的表达式，得到了一些计算法则，例如：
(f + g) = f + g ,
(f g) = f g + f g ,
(f []) = f []
这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f
为初等函数， f 的表达式能求出.
我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表达式是
什么形式呢？
例1 一静止的物体,其质量为m,在力F Asin t
的作用下沿直线运动, 求物体的运动速度。
解:由牛顿第二定理a F Asin t , mm
即
dv a F Asin t
4) exdx ex C
5)
a
xdx
1 ln a
a
x
C
a 0, a 1
4 (ex )' ex
5 (ax )' ln a ax a 0, a 1
6) cos xdx sin x C
6 (sin x)' cos x
7) sin xdx cos x C 7 (cos x)' sin x
(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
注2. 不定积分与原函数是总体与个体的关系。
设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，习惯写成
i 1
i 1
例1. 设p(x) a0xn a1xn1 an1x an ,求 p(x)dx
解: p(x)dx
a0 xndx a1 xn1dx an1 xdx an dx
a0 n 1
x n 1
a1 n
xn
an1 2
x2
an x C
例2. 求
x4 1 1 x2 dx
解: