的解。因此，二次型性能指标的线性最优控制问题 称为LQR问题，即线性· 二次型· 黎卡梯问题。
非线性系统分析与控制
U
B
BU
(t ) X


A
X (t )
C
Y(t )
KX (t )
K * R 1BT P*
P*
ห้องสมุดไป่ตู้
解：PA A TP PBR 1BTP Q 0
线性二次型最优控制系统结构图
1、冯纯伯 等《非线性控制系统分析与设计》 2、曹建福 等《非线性系统理论及应用》 3、斯洛廷，李卫平译《应用非线性控制》
非线性系统分析与控制
第一章 绪论
线性系统与非线性系统的主要区别： 1.线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足； 2.一般来说对于非线性系统不能求得完整的解，只能定 性分析； 研究非线性控制的理由： 1. 改进现有的控制系统； 2. 硬非线性特性分析； 3. 对模型不确定处理； 4. 设计简化。 §1.1 控制理论发展概述 一、古典控制理论 1.数学模型理论；2.响应分析；3.稳定性分析； 4.综合校正。
三、非线性控制理论
有一部分系统可以在基本满足工程需要的条件下 将其在某一平衡点处加以近似线性化； 也有一些系统，在分析它的大干扰稳定性与动态 品质时，就不宜把它近似地作为线性系统处理； 现代非线性科学所揭示的大量有意义的事实，例 如分叉、混沌、奇异吸引子等，均远远超过人们 熟知的非线性系统的自振现象，无法用线性系统 理论来解释。 非线性控制系统的研究几乎是与线性系统平行的， 并已经提出了许多具体方法，如相平面法、描述 函数法、绝对稳定性理论、Lyapunov稳定性理论、 输入输出稳定性理论等。
统，分析该平衡点的稳定性； 2）Lyapunov第二方法。
2.极限环
非线性系统能够在没有外激励时产生固定幅值和固定周 期的振荡，这种振荡叫极限环或自激振荡。
例 ：描述范德堡方程 的二阶微分方程（质量-弹簧-阻尼 器系统）为： 2c( x 2 1) x kx 0 m x
c 和 k 为正常数，分析该系统的特点） （ m、 • 非线性系统的极限环不同于线性系统的临界稳定或持 续振荡。 • 极限环代表了非线性系统的一种重要现象，分有害和 有益两种情况，应分别对待。
对于一个给定的线性系统，提出一个性能指标， 其一般表达式为
J (XT (t )QX(t ) UT (t ) RU(t ))dt
0
* U 问题是：要找出状态反馈规律 (X(t)) ，使得上式

给出的性能指标达到极值，这种控制称为最优 控制。 从数学上来看，就是在状态方程约束条件下求泛 函 J [X(t ), U(t )]的条件极值问题，这是一个典型的 条件变分法问题。条件变分问题中的欧拉 - 拉 格朗日（ Euler-Lagrange）方程是解决线性二 次型最优控制问题的基础。
非线性系统分析与控制
《非线性系统分析与控制》
研究生课程：32学时 授课教师：王印松
非线性系统分析与控制
主要教学内容
• • • • • 第一部分：非线性系统的主要特征； 第二部分：李雅普诺夫分析方法； 第三部分：现代稳定理论 第四部分：非线性系统的反馈线性化 第五部分：非线性系统的自适应控制 主要参考书：
d n y(t ) d n1 y(t ) h t , y(t ), y(t ), , , u (t ), t 0 n n 1 dt dt 可写成向量微分方程的形式：
(t ) f [t , x(t ), u (t )], t 0 x
上述微分方程代表最一般化的非线性控制系统的方程。如果 函数与 t 无关，则称此系统为自治的，否则称为非自治的。 在许多控制系统中输入量 u(t ) 可以从函数 f 中分列出来， 系统方程可写成以下形式： (t ) f [t , x(t )] B(t , x)u(t ), t 0 x 这类系统为仿射非线性系统。
结论分析： x0 1 系统收敛于由线性模型确定的稳定的平衡点； x0 1 系统快速地发散（有限时间逃逸问题）。
非线性系统分析与控制
100
50
0
-50
-100
-150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t/s
初值条件：由右到左依次为1.2,1.5,1.8,2.5
非线性系统分析与控制
例2. 线性化可以改变系统的结构，有可能变成不可控系统。
1 cos x3 x x 2 sin x3 3 x 0
0 u1 0 u2 1
某一机器人运动系统；在 x3 (t ) 0 点线性化后有：
1 1 0 x u1 x 2 0 0 u 2 x 0 1 3
特点：独特的建模方法 若有一自变量为时间
t 的函数 x(t )，使得积分


0
条件下，根据拉氏变换定义可得到
d k x (k ) st 是绝对收敛的；在初始条件为零的 e dt k dt
这样，可把由常系数线性常微分方程描述的线 性系统转换为传递函数描述。
d k x(t ) d k x(t ) st k L e dt s X ( s) dtk 0 dtk
ax x 3 0 x
当
a 由正变负时，一个平衡点分裂为三个点
（x e 0, a , a ），这表明系统的动态特性的质变，
a 0 为一临界分叉值。
4.混沌
1）混沌的解释：由确定性方程（内因）直接得到的具 有随机性的运动状态。或者说，混沌是具有随机性的非 周期性振荡。 2）混沌对初始条件非常敏感，即初始条件的微小差别 常常使轨道按指数形式分开（蝴蝶效应）。 3）混沌是一种确定性运动：无周期而有序、已发现三 条通向混沌的道路、Feigenbaum普适常数、有界性和 对初值具有很强的敏感性。 4）具有通常确定性运动所没有的统计和几何特征： 5）局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续功率谱、 奇怪吸引子分维数、正的Lyapunov特征指数、正测度 熵等。
* U 结论为：线性二次型最优控制规律 是状态变量
的线性函数，即
U * K * X(t )
K * 为最优增益矩阵，其表达式为
K * R 1 B T P * K *为常数矩阵；上式中 P *为黎卡梯 对线性定常系统， （Riccati）矩阵方程
AT P PA PBR1 B T P Q 0
状态空间建模理论与方法 ：将能够唯一地确定系统动力学 行为的最小的一组变量 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )
定义为系统的一组状态变量集合或状态向量
x(t ) x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 以每一个状态变量 xi (t )为轴所形成的 n 维欧氏空间 R n 定义 为状态空间。 现代控制理论的建模方法要求用 n个一阶常微分方程所组 成的方程组去描述一个 n 阶的线性动态系统。其数学模 型的标准形式为：
特点：1、以一阶线性自变量对时间的微分方程组来对 系统进行描述的，其数学模型与分析方法是时域的； 2、所用到的数学工具主要是线性常微分方程理论与 线性代数理论； 3、它的建模理论与数学方法使得这种控制理论体系 适应于线性多输入多输出系统； 4、它建立了一整套最优控制设计原理与方法，使得 所求得的控制规律能保证系统性能指标达到极值； 5、对于参数可能在较大范围内变化的线性系统，最 优控制设计方法与线性系统参数辨识技术相结合，可 得到自适应的或称之为自动寻找最优点的控制系统。
T
(t ) AX(t ) BU(t ) X Y(t ) CX(t )
上式称为：线性动态系统的状态空间方程。
非线性系统分析与控制
• 所有线性动态系统的数学模型都可归结为上式 所示的矩阵形式的状态方程；矩阵代数（线性 代数）中的几乎所有方法都可以用来对线性动 态系统的各个问题，如可控性问题、动态品质 问题、稳定性问题、参数辨识问题以及综合校 正（即控制系统的设计问题）等问题进行分析 和研究 。 • 线性最优控制 （最有影响的分支之一）
例：分析下面非线性系统
0.1x x 5 6 sin t x (0) 4.01 (0) 4 和 x(0) 3.01, x 在初值分别为 x(0) 3, x
的特征。
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
§1.4 非线性控制理论在电力系统中 的应用现状
非线性系统分析与控制
•近似线性化局限性的例题分析
例1.
(t ) x(t ) x 2 (t ) x x(0) x0
(t ) x(t ) x x(t ) x0 exp(t )
关于稳定的平衡点 x(t ) 0 ，近似线性化系统及其解可描述 为： 原系统的解：
x0 exp(t ) x(t ) 1 x0 x0 exp(t )
2、非线性系统近似线性化建模方法的局限性
近似线性化建模：在某一平衡点处加以近似线性化，从而得 到原非线性系统近似线性化的数学模型---传递函数或线性 状态方程； 要求：当非线性函数在所研究的区域内没有间断点并在所选 择的平衡点附近没有多值关系或者急剧的曲折时，允许进行 近似线性化。 实质：就是在某一选定的系统平衡点处以非线性函数的全微 分代替其增量。 工程设计中广泛采用的原因有： 1、非线性控制系统在平衡状态附近工作，近似线性化所得 到的模型可以满足需要； 2、利用线性控制理论成熟地综合校正与设计方法； 3、线性系统的反馈是状态变量或输出量的线性函数，其控 制规律易于实现。