2020年日本数学奥林匹克决赛试题
一、求所有正整数对（m,n），使得422112mmnn和都是整数。
二、在△ABC中，BC＜AC。点D、E分别位于线段AB、AC上。满
足BD=CE=BC。直线BE与CD交于点P。△ABE的外接圆和△ACD
的外接圆再次交于点Q。求证：PQ⊥BC。

三、求所有的函数

ZZf:

，使得对所有的正整数m,n均有


22222
nmfnfmnfm

四、设整数n≥2.在圆周上有3n个不同的点,井上和松下对它们进行
如下操作:首先,井上任选两个未连接过的点,将它们用一条线段连起
来。随后,松下任选一个没有放置过棋子的点,在上面放一个棋子.以上
记为一个回合。
请证明;无论松下怎么操作,井上可以保证，在n回合之后,恰有一端有
棋子的线段的个数不小小于61n。
五、求所有正整数构成的满足以下条件的无穷数列

1na

n
：

存在满足条件的常数C＞0，使得gcd(am+n,an+m)＞c(m+n).