t
e RC
RCT
T RC t
e RCT 0
RC T RC
(t 0)
u0T T RC
e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在 由0到t的区间内的定积分。根据定积分的 几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积 函数f()h(t)的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面
§4-6 卷积积分及零状态响 应的卷积计算法
➢ 卷积积分的推导
激励函数的 近似表示
f (t) fa (t) f (0)ε(t) ε(t )
f ( )ε(t ) ε(t 2 )
f (2 )ε(t 2 ) ε(t 3 )
f (n 1) ε(t (n 1) ) ε(t n )
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
1 e t
0
(t 0)
(t 0)
1 1 e t ε(t)
例2 设图示RC串联电路中电压源的电压
t
u(t) u0e T ε(t)
求零状态响应电压uC(t)。
解： 用卷积积分公式求uC(t)，应先求冲激响应
如按
t
r(t) h( ) f (t ) d h(t) f (t)
0
当 0<t <1 时
计算。
r(t ) te ε( )d t e d 1 et
0
0
当 t >1时
r(t ) t e ε( )d t 1
t e d e(t1) et t 1 返回
注意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分上、下限
r(t) f (t) h(t)
t
0
f
ht
d
rt ht f t
t
0
h
f
t
d
rt ht f t f tht
δt
f
t
t
0
δ
f
t
d
0δ f 0
t d
f
t
δt f t f t
f tδt f t
δt
t0
f
t
t
0
δ
t 0
f
t
d
δ t0
t0
t0
f
t
d
f t t0
例1 求卷积 [e tε(t)] ε(t)
因为
1
uC (0 ) C
0 1 δ(t )dt 1
0 R
RC
所以，冲激响应
h(t)
1
t
e RC ε(t )
RC
零状态响应电压为
t
uC (t)
u( )h(t ) d
0
t 0
u0e T
ε(
)
1 RC
t
e RC
ε(t
)
d
u0
t
e RC
t T RC
e RCT d
RC
0
(t 0)
u0
积。
设 f (t) ε(t)
h(t ) etε(t )
如按式
t
r(t)
f (t) h(t) 0
f ( )h(t ) d
计算。
如按式
t
r(t) 0 h( ) f (t ) d h(t) f (t)
计算。
例3 图示某电路的激励函数与冲激响应。求电路的零状态响应。
如按
t
r(t) f (t) h(t) 0 f ( )h(t ) d
n1
f (k )ε(t k ) ε(t (k 1) ) k0
f (t) fa(t)
n1 k0
f
(k )ε(t
k )
ε(t
(k
1)
)
n1
f (t) fa (t) f (k )δ(t k ) k0
零状态响应的近似解
n1
r(t) f (k ) h(t k ) k0
准确解 r(t) t f h(t )d 0
计算。
解： 当 0<t <1 时
r(t ) te(t )ε(t )d 0 t e(t )d 1 et 0
当 t >1 时
r(t ) e1 (t )ε(t )d 0 1 e(t )d e(t1) et 0
注意：积分上下限应由被 积函数存在的时域范围的 上下限确定，用作图的方 法可方便地确定出积分上 下限。