2.2.2 对数函数图象及其性质
考纲要求：
考纲定位 1.理解对数函数的概念． 2.掌握对数函数的性质． 3.了解对数函数的简单应用.
重难突破
重点：对数函数的概念、图象及性 质． 难点：利用对数函数性质解题.
知识点聚焦：
• 一、对数函数的定义 • 函数 y＝logax (a＞0且a≠1) 叫作对数函数，其中 x 是自变量. • 二、对数函数的图象和性质
• 【答案】1
探究二 对数函数的图象
• 【例】(1)函数y＝2＋logax的图象过定点________；
•
(2)函数y＝loga(x－1)＋2的图象过定点________.
•
• 【解析】(1)函数y＝logax的图象过定点(1,0)，
•
而y＝2＋logax的图象是由y＝logax的图象向上平移2个单位得来，故过定点(1,2)．
• 【练】函数y＝loga2xx－－13＋1 过定点________．
• 【解析】令2xx－－13 ＝1，得x＝2，代回原式得y=1 • 【答案】(2,1)
• 【例】如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，
•
则a，b，c，d与1的大小关系为_____.
• 【解析】由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，
•
y＝logdx的底数0<c<1,0<d<1.
•
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为
•
c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．
• 【答案】b>a>1>d>c
方法归纳：
•
(2)函数y＝loga(x－1)＋2的图象是由y＝logax的图象先向右平移1个单位，
•
再向上平移2个单位，故过定点(2,2)．
• 【答案】(1)(1,2) (2)(2,2)
方法归纳：
• 求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得 定点为(x，m)．
•
(4)中的真数是(x－3)，而不是x，故不是对数函数．
•
(5)中log2x的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数．
• 【练】指出下列函数哪些是对数函数？
• (1)y＝3log2x；
(2)y＝log6x；
(3)y＝logx3；
(4)y＝log2x＋1.
• 【解析】 (1) log2x的系数是3，不是1，不是对数函数.
• 【解析】解法一：由对数函数图象特征：图象在y轴右侧，x>1时，图象顺时针方向，
•
底数逐渐增大，而a>1图象是上升的，0<a<1图象是下降的，或者整体记忆为：
•
在x轴上方，按顺时针方向，底数逐渐增大，即C3<C4<C1<C2，
•
故答案为C3＝13 ，C4＝12 ，C1＝ 3 ，C2＝π.
•
故C1、C2、C3、C4对应的函数底数为 3 、π、13 、12.
图象
0＜a＜1
a＞1
性质
定义域 值域
过定点
单调性
0＜a＜1
a＞1
(0，＋∞)
R
过点(1,0)，即x＝ 1 时，y＝ 0
是(0，＋∞)上的 减函数 是(0，＋∞)上的 增函数
• 三、反函数 • 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数 y=ax 互为反函数．
探究一 对数函数的概念
• 【例】下列函数中，哪些是指数函数？
• 【练】求下列函数的定义域.
•
(1)y＝lg(x＋11)－3；
(2)y＝logx(2－x).
• 根据对数函数图象判断底数大小的方法：
• 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自 左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
• 【练】如图所示的曲线C1、C2、C3、C4是对数函数y＝logax的图象，
•
而a∈{12，13， 3，π}，则图象C1、C2、C3、C4对应函数的底数依次是________．
•
(2)y＝log(x＋1)x；
•
(3)y＝log(－2)2x；
•
(4)y＝log2(x－3)；
•
(5)y＝3log2x＋1.
• 【解析】(1)中的真数是 x ，而不是 x ，故不是对数函数．
•
(2)中的底数是x＋1，而不是常数，故不是对数函数．
•
(3)中的底数是(－2)2＝4＞0，符合对数函数的定义，是对数函数．
•
∴0＜c＜1.
• 【答案】D
探究三 与对数函数有关的定义域问题
方法归纳：
• 求对数函数定义域应注意的问题：
• 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时， 要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在 底数上，应保证底数大于0且不等于1.
•
(2) 符合对数函数的结构形式，是对数函数.
•
(3) 自变量在底数位置上，不是对数函数.
•
(4) 对数式log2x后又加1，不是对数函数.
• 【练】函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
• 【解析】 a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
•
又a＋1>0且a＋1≠1，∴a＝1.
•
(4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数．
方法归纳：
• 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即 满足以下条件：
• (1)系数为1. • (2)底数为大于0且不等于1的常数．
• 【练】判断下列给出的函数是否是对数函数：
•
(1)y＝loga x (a＞0，a≠1)；
•
则下列结论成立的是( )
•
A．a＞1，c＞1
•
B．a＞1,0＜c＜1
•
C．0＜a＜1，c＞1
•
D．0＜a＜1,0＜c＜1
• 【解析】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a＜1，
•
∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，
•
∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，
•
(1)y＝logax2(a＞0且a≠1)；
•
(2)y＝log2x－1；
•
(3)y＝2log7x；
•
(4)y＝logxa(x＞0且x≠1)；
•
(5)y＝log5x.
• 【解析】只有(5)为对数函数．
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(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
•
(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
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(3)中log7x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；
• 【答案】
3
、π、13
、1
2
• 【练】当a>1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只能是( )
• 【解析】∵a>1，∴y＝logax的图象是上升的；而y＝(1－a)x的图象是下降的． • 【答案】B
• 【练】已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，
• 【解析】解法二：在图中作y＝1，分别与C3、C4、C1、C2交于
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A，B，C，D四点，则A(a1,1)，B(a2,1)，C(a3,1)，D(a4,1)
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(其中a1，a2，a3，a4分别为对数函数的底)．由图可知
•
a1<a2<a3<a4.
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∴C3<C4<C1<C2故C1、C2、C3Байду номын сангаасC4分别为 3 、π、13 、12.