高考函数习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考函数习题 1．[2011·沈阳模拟] 集合A＝{(x，y)|y＝a}，集合B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个子集，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．R

2．[2011·郑州模拟] 下列说法中，正确的是( ) ①任取x∈R都有3x>2x；②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x；③y＝(3)－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图像对称于y轴． A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤

3．[2011·郑州模拟] 函数y＝xax|x|(0

图K8－1 4．[2011·聊城模拟] 若函数y＝2|1－x|＋m的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是( ) A．m≤－1 B．－1≤m＜0 C．m≥1 D．0＜m≤1

5．[2010·湖北卷] 已知函数f(x)＝ log3x，x>0，2x，x≤0，则ff19＝( ) A．4 B.14 C．－4 D．－14 6．[2011·郑州模拟] 设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知当x∈(0,1)时，f(x)＝log12(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( ) A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0 C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0

7．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝flog123，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是( ) A．cc 8．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像如图K8－2所示，则函数g(x)＝ax＋b的图像是( )

9．[2011·锦州一模] 设0＜a＜1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x的取 值范围是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)

10．[2011·济宁模拟] 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样．污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次，能过滤出有害物质的34.若过滤n次后，流出的水中有害物质在原来的1%以下，则n的最小值为________(参考数据lg2≈0.3010) ． 11．若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则a的取值范围为________．

12．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 13．函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当x∈M时，则f(x)＝2x＋2－3×4x的最大值为________．

14．(10分)(1)已知f(x)＝23x－1＋m是奇函数，求常数m的值； (2)画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解有两解 15．(13分)设a>0，f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数(其中e≈2.71828)． (1)求a的值； (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

16．(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)为奇函数； (2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

函数习题答案 1．B [解析] ∵y＝bx＋1>1，如果A∩B只有一个子集，则A∩B＝∅，∴a≤1. 2．B [解析] 利用指数函数的性质判断． 3．D [解析] x>0时，y＝ax；x<0时，y＝－ax.即把函数y＝ax(0x>0时不变，在x<0时，沿x轴对称．

4．A [解析] ∵|1－x|≥0，∴2|1－x|≥1.∵y＝2|1－x|＋m≥1＋m，∴要使函数y＝2|1－x|＋m的图像与x轴有公共点，则1＋m≤0，即m≤－1. 5．B [解析] 根据分段函数可得f19＝log319＝－2，则ff19＝f(－2)＝2－2＝14，所以B正确． 6．D [解析] 由于x∈(0,1)时，f(x)＝log12(1－x)，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增且f(x)>0，

又因为f(x)为偶函数，所以f(x)在区间(－1,0)上单调递减且f(x)>0，又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x)在区间(1,2)上递减且f(x)>0，故选D.

7．B [解析] log123＝－log23＝－log49，b＝flog123＝f(－log49)＝f(log49)，

log47532＝2>log49. 又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(0.2－0.6)8．A [解析] 由图形可知b<－1,0且与x轴负半轴相交，所以选A. 9．C [解析] f(x)<0⇔loga(a2x－2ax－2)<0⇔loga(a2x－2ax－2)所以a2x－2ax－2>1，即(ax)2－2ax＋1>4⇔(ax－1)2>4⇔ax－1>2或ax－1<－2，所以ax>3或ax<－1(舍去)，因此x

10．4 [解析] 设原有的有害物质为a，则过滤n次后有害物质还有14na，令14n＜1%，

则n＞1lg2，即n≥4，所以n的最小值为4. 11．a>1 [解析] 函数f(x)是由φ(x)＝ax2－x和y＝logaφ(x)复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法．(1)当a>1时，若使f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则

φ(x)＝ax2－x在[2,4]上是增函数且大于零．故有 12a≤2，φ2＝4a－2>0，解得a>12，∴

a>1.

(2)当a<1时，若使f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，则φ(x)＝ax2－x在[2,4]上是减函数且大于零. 12a≥4，φ4＝16a－4>0，不等式组无解． 综上所述，存在实数a>1使得函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数． 12．a>1 [解析] 设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交

点．由图像可知，当01时，因为函数y＝ax(a>1)的图像过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a>1.

13.2512 [解析] 由3－4x＋x2＞0，得x＞3或x＜1，∴M＝{x|x＞3或x＜1}．

f(x)＝－3×(2x)2＋2x＋2＝－32x－162＋2512.∵x＞3或x＜1，∴2x＞8或0＜2x＜2，∴当2x

＝16，即x＝log216时，f(x)最大，最大值为2512. 14．[解答] (1)常数m＝1. (2)y＝|3x－1|的图像如下：当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解； 当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解； 当0方程有两解．

15．[解答] (1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即exa＋aex＝1aex＋aex， 所以a－1aex－1ex＝0对一切x∈R成立． 由此得到a－1a＝0，即a2＝1.又因为a>0，所以a＝1. (2)证明：设0＝ex1(ex2－x1－1)·1－ex2＋x1ex2＋x1 由x1>0，x2>0，x2－x1>0，得x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 16．[解答] (1)证明：由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令x＝y＝0，得f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)f(3)＝log23>0，即f(3)>f(0)，又f(x)是R上的单调函数，所以f(x)在R上是增函数．又由(1)知f(x)是奇函数． f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0⇔f(k·3x))3x

＋2>0对任意x∈R恒成立． 令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．

令g(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为t＝1＋k2，

当t＝1＋k2≤0，即k≤－1时，g(0)＝2>0，符合题意； 当t＝1＋k2>0，即k>－1时，则需满足g1＋k2>0，解得－1综上所述，当k<－1＋22时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立． 本题还有更简捷的解法：

分离系数由k<3x＋23x－1，令u＝3x＋23x－1，u的最小值为22－1，

则要使对任意x∈R不等式k<3x＋23x－1恒成立，只要使k<22－1.