所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. uuur uuur
（Ⅱ）因为 < B1A, DC > 等于异面直线 AB1 与 CD 的
夹角，
故
uuur uuur uuur B1A DC = B1A
uuur DC
cos
45o
，
即 2 2 × c2 + 2 × 2 = 4 ， 2
解得
c=
2
，故
）
（Ｂ）{x x < − 2}
{ （Ｃ） x x < −2或x > 3}
（Ｄ）{x x > 3}
（3）已知 sinα = 2 ，则 cos(π − 2α ) = 3
(A) − 5 3
(B) − 1 9
1
(C)
9
5
(D)
3
（4）函数 y = 1+ ln(x −1)(x > 1) 的反函数是
(A) y = ex+1 −1(x > 0)
一、选择题
{ } （1）设全 集 U = x ∈ N * x < 6 ，集合 A = {1,3}，B = {3,5} ,则 ðU ( A U B) = （ ）
（Ａ） {1,4}
（Ｂ） {1,5}
（Ｃ）{2,4} （Ｄ）{2,5}
（２）不等式 x − 3 < 0 的解集为（ x+2
（Ａ）{x −2 < x < 3}
uuur AC
=
(-1,2，2 )
，
uuuur uuuur 又 AA1=BB1=(0,2,0) ，
所以
uuuur AC1
uuur uuuur =AC+AA1
=(−1,2，2
)
，
设平面 AA1C1 的法向量为 m = (x, y, z) ，
uuuur
uuur
则 m AC1 = 0, m AA1 = 0
（Ⅱ）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率.
（21）（本小题 满分 12 分）
已知函数 f (x) = x3 − 3ax2 + 3x +1 （Ⅰ）设 a = 2 ，求 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）设 f (x) 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围.
（22）（本小题满分 12 分）
(A) 14
(B) 21
(C) 28
(D)35
（7）若曲线 y = x2 + ax + b 在点 (0, b) 处的切线方程式 x − y +1 = 0 ，则
（A） a = 1,b = 1
（B） a = −1,b = 1
（C） a = 1,b = −1
（D） a = −1,b = −1
（8）已知三棱锥 S − ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC，
△ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33, sin B = 5 , cos ∠ADC = 3 .求 AD.
13
5
（18）（本小题满分 12 分）
已知 {an } 是各项均为正数的等比例数列，且
a1
+
a2
=
1 2(
a1
+
1 a2
)
， a3
+
a4
+
a5
=
1 64(
a3
+
1 a4
+
1 a5
)
.
(Ⅰ) 求{an}的通项公式；
（20）（本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，
T3 的概率都是 p ，电流能通过 T4 的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知 T1，T2，
T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999
（Ⅰ）求 p ；
(B) y = ex−1 +1(x > 0)
(C) y = ex+1 −1(x ∈ R)
( D) y = ex−1 +1(x ∈ R)
⎧x ≥ −1
(5)
若变量
x,
y
满足约束条件
⎪ ⎨
y
≥
x
，则 z = 2x + y 的最大值为
⎪⎩3x + 2 y ≤ 5
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D)4
{ } （6）如果等差数列 an 中， a3 + a4 + a5 =12，那么 a1 + a2 +…+ a7 =
7, HK = AA1 × HC1 = 2 3
AC1
37
tan ∠B1KH
=
B1H HK
=
14
所以二面角 A1 − AC1 − B1 的大小为 arctan 14
解法二：
（Ⅰ）以 B 为坐标原点，射线 BA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B − xyz .
设
AB=2，则
A（2,0,0,），
a2 b2
2
的直线与 C 相交于 A、B 两点，若 AF =3 FB ，则 k=
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D）2
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（13）已知α 是第二象限的角， tan α = 1 ，则 cosα = ___________. 2
+
1 an2
+2
=
4n−1
+
1 4n−1
+2
因此
( ) ( ) Tn =
1+ 4 + ... + 4n−1
+ ⎛⎜⎝1+
1 + ... + 4
1 4n−1
⎞ ⎟⎠
+
2n
=
4n
−1
+
1−
1 4n
4−1 1− 1
+ 2n =
1 3
4n − 41−n
+ 2n +1
4
（19）解法一：
（Ⅰ）连结 A1B ,记 A1B 与 AB1 的交点为 F.因为面 AA1BB1 为 正方形，故 A1B ⊥ AB1 ，且 AF=FB1 .又 AE=3EB1 ，所 以 FE=EB1 ， 又 D 为 BB1 的 中 点 ， 故 DE∥BF，DE ⊥ AB1 . 作 CG ⊥ AB ,G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点. 又由底面 ABC ⊥ 面 AA1B1B ，得 CG ⊥ AA1B1B . 连结 DG，则 DG∥AB1 ，故 DE ⊥ DG ,由三垂线定理，得 DE ⊥ CD . 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线.
B1
(0,
2,
0)
，D（0,1,0），
E(
1 2
,
3 2
,0)
，
又设
C（1,0,c）,则
uuur DE
=
⎛ ⎜⎝
1 2
，1 2
，0 ⎞⎟⎠，Buu1uAur =
(
2,-2,0)
uuur ,DC=
(1,-1,c)
.
uuur uuuur uuur uuur 于是 DE B1A=0,DE DC=0 .
故 DE ⊥ B1A，DE ⊥ DC ,
相切.
2010 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B 10. B 11. D 12. B
二、填空题
13. − 2 5 5
14. 84 15. 2 16. 3
三、解答题
（17）解：
（C）36 种 （D）54 种
（10）△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB，若 CB = a ，CA = b ， a = 1, b = 2 ，则
CD =
（A） 1 a + 2 b 33
（B） 2 a + 2 b 33
（C） 3 a + 4 b 55
（D） 4 a + 3 b 55
已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： x2 − y2 = 1(a > 0, b > 0) 相交于 B、D 两点，且 BD a2 b2
的中点为 M(1,3) .
（Ⅰ）求 C 的离心率；
（Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， DF • BF =17 ，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴
(14) (x + 1 )9 的展开式中 x3 的系数是__________ x
(15) 已知抛物线 C：y2 = 2 px( p > 0) 的准线为 l ，过 M(1,0)且斜 率为 3 的直线与 l 相交 uuuur uuur
于点 A,与 C 的一个交点为 B,若， AM = MB ，则 p 等于_________.
⎨
⎪⎩⎪a1q2
+ a1q3
+
a1q4
=
⎛ 64 ⎜
⎝
1 a1q2
+
1 a1q3
+
1 a1q4
⎞ ⎟. ⎠
化简得 ⎧⎪⎨⎪⎩aa1122qq6==26，4. 又 a1 > 0 ，故 q = 2, a1 = 1
所以
an = 2n−1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 bn
⎛ = ⎜ an
⎝
+
1 an
⎞2 ⎟ ⎠