第一章　线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4　4x1－x2＋2x3－　x4　＝－2st.x1＋x2－x3＋2 x4 ≤ 14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2x1，x2，x3≥ 0，x4　无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3－x1＋x2＋x3＝4st.－2x1＋x2－x3≤ 6x1≤0 ，x2≥ 0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st 2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st 3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st 5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st －2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st 2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。

1)maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9st 5x 1＋2x 2≤8x 1，x 2≥02)maxz ＝2x 1＋x 23x 1＋5x 2≤15st 6x 1＋2x 2≤24x 1，x 2≥01．5分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。

1)minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3x 1＋4x 2＋2x 3≥8st 3x 1＋2x 2 ≥6x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18st 2x 1＋x 2　－3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．6求下表中a ～l 的值。

c j →（a ）－1200C B X B b x 1x 2x 3x 4x 50x 46（b ）（c ）（d ）100x 51-13（e ）01σj →（a ）-1200（a ）x 1（f ）［（g ）］2-11/200x 54（h ）（I ）11/21c j→（a）－1200C B X B b x1x2x3x4x5σj0-7（j）（k）（l）1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。

根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。

问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲乙丙原料成本(元/千克) 每月限量（千克）A ≥60％≥15％ 2.00 2000B 1.50 2500C ≤20％≤60％≤50％ 1.00 1200加工费（元/千克）0.50 0.40 0.30售价 3.40 2.85 2.251.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。

月份7 8 9 10 11 12买进单价28 24 25 27 23 23售出单价29 24 26 28 22 251.10某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。

这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。

在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。

机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。

若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。

又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。

此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。

试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。

第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。

第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。

第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。

已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。

为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。

第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。

又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。

试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。

使总的工资支出为最少(第二章 对偶与灵敏度分析2．1 写出以下线性规划问题的DLP 1)minz ＝2x 1＋2x 2＋4x 3　x 1＋3x 2＋4x 3　≥2st2x 1＋ x 2＋3x 3　≤3　x 1＋4x 2＋3x 3　＝5x 1，x 2≥0，x 3无约束2)max z ＝5x 1＋6x 2＋3x 3　x 1＋2x 2＋2x 3　＝5st －x 1＋5x 2－ x 3　≥34x 1＋7x 2＋3x 3　≤8x 1无约束，x 2≥0，x 3≤03)max z ＝c 1x 1＋c 2x 2＋c 3x 3a 11x 1＋a 12x 2＋a 13x 3 ≤b 1st a 21x 1＋a 22x 2＋a 23x 3 ＝b 2a 31x 1＋a 32x 2＋a 33x 3　≥b 3x 1≥0，x 2≤0，x 3无约束2．2 对于给出的LP ：minz ＝2x 1＋3x 2＋5x 3＋6x 4　x 1＋2x 2＋3x 3＋x 4　≥2st －2x 1＋x 2－x 3＋3x 4　≤－3　x j ≥0 （j=1,2,3,4）1)写出DLP ；2)用图解法求解DLP ；3)利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。

2．3 对于给出LP ：maxz ＝x 1＋2x 2＋x 3　x 1＋　x 2－　x 3　≤2st x 1－　x 2＋　x 3　＝12x 1＋　x 2＋　x 3　≥2x 1≥0， x 2≤0，x 3无约束1)写出DLP ；2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤12．4 已知LP ：max z ＝x 1＋x 2－x 1＋　x 2＋　x 3　≤2st －2x 1＋ x 2－　x 3　≤1　x j ≥0试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5 给出LP ：maxz ＝2x 1＋4x 2＋x 3＋x 4　x 1＋ 3x 2 ＋x 4　≤82x 1＋ x 2 ≤6st. x 2 ＋　x 3＋ x 4≤6x 1＋ x 2 ＋　x 3 ≤9　x j ≥01)写出DLP ；2)已知原问题最优解X ＝（2,2，4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题1)minz ＝4x 1＋12x 2＋18x 3x 1 ＋3x 3 ≥3st 2 x 2＋2x 3　≥5 x j ≥0 (j=1,2,3)1231231231232)min 524324.63510,,0z x x x x x x st x x x x x x =++++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩2．7 考虑如下线性规划问题minz ＝60x 1＋40x 2＋80x 33x 1＋2x 2＋ x 3　≥2st 4x 1＋ x 2＋3x 3　≥42x 1＋2x 2＋2x 3　≥3　x j ≥01)写出DLP ；2)用对偶单纯形法求解原问题；3)用单纯形法求解其对偶问题；4)对比以上两题计算结果。

2．8 已知LP ：maxz ＝2x 1－x 2＋x 3x 1＋ x 2＋ x 3≤6st －x 1＋2x 2 ≤4x 1，x 2，x 3≥01)用单纯形法求最优解2)分析当目标函数变为maxz ＝2x 1＋3x 2＋x 3时最优解的变化；3)分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。

2．9 给出线性规划问题maxz ＝2x 1＋3x 2＋x 31/3x 1＋1/3x 2＋1/3x 3≤1st 1/3x 1＋4/3x 2＋7/3x 3≤3x j≥0用单纯形法求解得最终单纯形表如下cj→2310C B X BB x 1x 2x 3x 4X 52x 1110－14－13x 22012－11σj－3－5－1试分析下列各种条件下，最优解（基）的变化： 1)目标函数中变量x 3的系数变为6；2)分别确定目标函数中变量x 1和x 2的系数C 1、C 2在什么范围内变动时最优解不变；3)约束条件的右端由1变为　2；332.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。

产品原料甲乙可用量（千克）原料成本（元/千克）A 24160 1.0B 321802.0销售价（元）1316（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。

（2）原料A 、B 的影子价格各为多少。

（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A 和4千克原料B ，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。

（4）工厂可在市场上买到原料A 。

工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。

已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。

又知丙百货商店要求至少供应C 玩具1000件，而拒绝进A 玩具。