...
...
半期复习（ 3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型
一．公式拓展：
2
a2 b2 (a b)2 2ab
2 2
拓展一：
a b (a b) 2ab

1 1 2 1 1
2
2

2
a (a ) 2 a (a ) 2

2 2
a a a a

2
a b 2 a b 2 2a2 2b
2
2
拓展二：
(a b) (a b) 4ab

2 2
(a b)2 (a b)2 4ab
(a b) (a b) 4ab
2 2 2 2
拓展三：
a b c (a b c) 2ab 2ac 2bc

拓展四：杨辉三角形
3 3 2 3 2
3 3
(a b) a a b ab b
...
...
4 4 4 3 6 2 2 4 3 4
(a b)
a a b a b ab b

拓展五： 立方和与立方差
3
b a b a ab b
3 2 2 3
b3 a b a ab b
2 2
a ( )( ) a ( )( )

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...
二．常见题型：
（一）公式倍比
2 2
a b

例题：已知 a b =4，求
ab
2

。

1 1
(1) x y 1，则
2 2

x xy y = 2

2

2 2
x y

2
) 2
(2) 已知
x x x y ， xy
( 1) ( 则
=

２

( 二）公式变形
(1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则 A=

2 2
(2) 若
( x y) ( x y) a
，则 a 为

(3) 如果
2

( )

2
(x y) M x y
，那么 M等于

(4) 已知(a+b)
2=m，(a —b) 2

=n，则 ab 等于

2
(2 3 )
2
(
，则 N的代数式是
(5)

若
2a b a b N
3 )

（三） “知二求一 ”
1．已知 x﹣y=1，x
2+y2
=25，求 xy 的值．

2．若 x+y=3 ，且（ x+2）（y+2）=12．
（1）求 xy 的值；

2+3xy+y 2
的值．
（2）求 x
...
...
3．已知： x+y=3 ，xy=﹣8，求：
2+y2
（1）x

（2）（x
2﹣1）（y2
﹣1）．

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...

...
4．已知 a﹣b=3，ab=2，求：
2
（1）（a+b）

（2）a
2﹣6ab+b2
的值．

（四）整体代入
2
y
2

例 1
： x 24，
x y 6，求代数式 5x 3y

的值。

例 2：已知 a=
1 20 x＋20，b= 1 20 x＋19，c= 1
20
2＋b2＋c2
－ab－bc－ac 的值

x＋21，求 a

2
y
2
⑴若 x 3y 7,x 9 49，则
x 3y
=

2 2 ⑵若 a b 2 ，则 a b 4b 2
= 若 a 5b 6，则
a 5ab 30b
=

⑶已知 a
2＋b2
=6ab 且 a＞b

＞0，求
2＋b2
=6ab 且 a＞b＞0，求

a
a b b
的值为

⑷ 已 知 a 2 0 0x5 2 0 0 4， b 2005 x 2006 ， c 2005 x 2008 ， 则 代 数 式
2 2 a b 2
c
ab bc ca
的值是 ．

（五）杨辉三角
请看杨辉三角（ 1），并观察下列等式（ 2）：
...

...
6
= ．

根据前面各式的规律，则（ a+b）
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...
（六）首尾互倒
2 2
﹣6m﹣1=0，求 2m ﹣6m+ = ．
1．已知 m

2．阅读下列解答过程：
2
已知： x≠0，且满足 x ﹣3x=1 ．求： 的值．

2 2
解：∵ x ﹣3x=1，∴ x ﹣3x﹣1=0

∴ ，即 ．
2
+2=11． ∴ =
=3

请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知 a≠0，且满足（ 2a+1）（1﹣2a）﹣（ 3﹣2a）
2+9a2
=14a﹣7，

求：（1） 的值；（2） 的值．

（七）数形结合
1．如图（ 1）是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，
然后按图（ 2）形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（ 2）中的阴影部分的正方形边长是多少？
（2）请用两种不同的方法求图（ 2）阴影部分的面积；
（3）观察图（ 2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
三个代数式： （m+n）
2，（m﹣n）2
，mn．

（4）根据（ 3）题中的等量关系，解决下列问题：若 a+b=7，ab=5，求（ a﹣b）2 的值．

2．附加题： 课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的， 例如：（2a+b）
2+3ab+b2
就可以用图 1 或图 2 的面积来表示．
（a+b）=2a
...
...
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...

...
（1）请写出图 3 图形的面积表示的代数恒等式；
2
2
． （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（ a+b）（a+3b）=a

+4ab+3b

（八）规律探求
15．有一系列等式：
1×2×3×4+1=5
2=（12+3×1+1） 22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32
+3×3+1）
2 2

2 2
4×5×6×7+1=29 =（4 +3×4+1） ⋯

（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 8×9×10×11+1 的结果
（2）试猜想n（ n+1）（n+2）（n+3） +1 是哪一个数的平方，并予以证明．

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