x1(t) a sin( qt ) b sin( 3qt ) x2(t) a sin( qt ) b sin( 3qt )
§5.1 特征值与特征向量
一、矩阵的相似
定义 设A、B是两个n阶方阵。若存在n阶可逆 矩阵P，使得
P 1AP B
则称 A相似于B，记作A～B；称P为由A到B的相似变 换矩阵。
二、特征值与特征向量的定义和求法
设A是3阶可对角化矩阵，则存在3阶可逆矩阵P， 使
P 1AP
1
2
3
把P按列分块 P [ X1, X 2 , X 3 ]，则
AP [ A][ X1 X2 X3 ] [ AX1 AX 2 AX 3 ]
而
1
[1] [0] [0]
P 2 [ X1 X2 X3 ] [0] [2] [0]
①
的非零解。
方程组①有非零解
①的系数行列式 | 0 I A | 0
0 是以为变量的方程
| I A | 0
②
的根。
结论：特征值 方程②的根 特征向量 方程组①的非零解
定义 设 A为n阶方阵，则称 I﹣A 为A的特征矩
阵；称 |I﹣A| 为A的特征多项式，记为 fA ( ) ；称
|I﹣A| = 0 为矩阵A的特征方程，称 (I﹣A)X = 0 为
其中 A1 , A2 , … , Am 均为 n 阶矩阵，P 为 n 阶可逆矩阵。 特别地，当 A1＝ A2＝ … ＝ Am＝ A 时，上式成为
P 1 Am P ( P 1 AP )m
于是
A ~ B Am ~ Bm
（5）若 A～B，则 f (A) ～ f (B) ，这里 f (x) 为任一 多项式函数。
a 4 3
由此得 a 1 。
定义 设 A是 n阶方阵，若
1
A
~
2
n
则称 A可相似对角化，简称对角化；称 为 A的相似
标准形。
引例中的2阶方阵
A
2q
q
就可对角化，
q 2q
且其相似标准形为 q 0 。 0 3q
问题 ①如何判断矩阵是否可对角化？ ②如何求矩阵得相似标准形(如何对角化)？
这可由 P 1 f ( A)P P 1(am Am a1 A a0 I )P
am ( P 1 AP )m a1( P 1 AP ) a0 I
得到。
f (P 1 AP ) f (B)
例 已知
A
1 2
a2 ~ B 1
3 ，求 a。
解 因为 A～B，所以 | A || B | ，即
矩阵A的特征方程组。对A的特征值0 ，称零空间 N (0I A) 为特征值 0的特征子空间，记为 V0 (与特征值 的特征向量集合只差一个零向量)。
例 求矩阵
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
的特征值与特征向量。
解
1
| I A | 4
1
1
3
0
0 0
2
1 ( 2)
1 ( 2)( 1)2
性质1 矩阵的相似满足 （1）自反性： A ~ A （2）对称性： A ~ B B ~ A （3）传递性： A ~ B, B ~ C A ~ C
性质2（1） A ~ B r( A) r(B)
（2） A ~ B | A || B | （3） A ~ B AT ~ BT
（4） P 1( A1 A2 Am )P ( P 1 A1P )( P 1 A2 P )( P 1 Am P )
则有
AX1 1 X1, AX 2 2 X2
即 1 与2 是 A的特征值，X1 与 X 2 分别是 A属于 1 与 2 的特征向量。
特征值与特征向量的计算：
A，方阵；0 ，特征值；X 0 ，特征向量。
AX 0 0 X0
(0 I A) X0 0
X 0 是齐次线性方程组
(0 I A) X 0
例如，取 则 P 可逆且
P 1 1 1 1
P
1 AP
q
0
0 3q
此时，方程组（3）为
其一般解为
d 2 y1 dt 2
qy1
d 2 y2 dt 2
3qy2
y1 asin( qt ), y2 bsin( 3qt ) 其中，a, b, , 为常数。
于是，方程组（1）的一般解为
定义 设A是n阶方阵。若存在数及n元非零列向
量X，使得
AX = X 或 (I﹣A)X = 0 则称为矩阵A的特征值，X为矩阵A的属于(或对应 于)特征值的特征向量。
在引例中，对矩阵 A、P 以及数 -q, -3q，因有
P 1AP q 0 0 3q
故若取 1 q, 2 3q 以及
X1 (1, 1)T , X2 (1, 1)T
第五章 特征值与特征向量
例 解微分方程组
d 2 x2x2 dt 2
qx1
2qx2
解 先将微分方程组改写。若令
A
2q
q
q , 2q
x x1 , x2
d2x dt 2
d 2 x1 dt2
d 2x2 dt 2
则方程组（1）变成
d2x dt 2
Ax
为解此矩阵微分方程，我们引入新的函数 y1(t)
与 y2(t) 做函数替换：若令 y=[y1 y2]T，则存在 P =
[pij]2×2 , 使
x Py
（2）
当 P 可逆时，把（2）代入（1）得
d2y dt 2
(P 1AP)
y
（3）
若新函数选择恰当，即 P 选取合适，则（3）的解很 很容易得出。
4 3
A的特征值为2和1（二重）。
对 2 ，解 (2I A)X 0 ：
3 2I A 4
1 1
0 0
行
1 0
0 1
0 0
1 0 0
0 0 0
x1 0
x2
0
令 x3 1 X1 0, 0, 1T，故 A属于2的全部
特征向量为 k1 X1(k1 0) 。
对 1 ，解 (I A)X 0 ：
3
[0] [0] [3]
[ X1[1] X2[2] X3[3]] [1 X1 2 X2 3 X3 ]
因
故有 [ AX1
由此得
1
AP P 2
3
AX 2 AX 3 ] [1 X1 2 X2
3 X3] ，
AX1 1 X1, AX 2 2 X2, AX 3 3 X3
共同特点 AX X
2 IA 4
1 2
0 0
行
1 0
0 1
1 2
1 0 1
0 0 0
x1 x3 0 x2 2x3 0