第二章二次函数单元测试一、选择题 (本大题共7 小题，共 28 分 )1．已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 的开口向下，顶点坐标为 (2，－ 3)，那么该抛物线有 () A．最小值－ 3 B．最大值－ 3 C．最小值 2 D ．最大值 22．已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的 x 与 y 的部分对应值如下表：x －1 0 1 2 3y 5 1 － 1 － 1 1则该二次函数图象的对称轴为( )5 3A ． y 轴B．直线 x＝2 C．直线 x＝2 D．直线 x＝23．若二次函数 y＝ (m－ 1)x2－ mx－ m2＋1 的图象过原点，则 m 的值为 ()A．±1 B． 0 C． 1 D．－1图 8－Z－1c4．一次函数 y＝ ax＋ b 和反比例函数y＝x在同一平面直角坐标系中的图象如图8－ Z－ 1所示，则二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的图象大致为 ()图 8－Z－2为5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为18 元，降价后的价格为y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为()x，该药品原价A ． y＝ 36(1－ x) B． y＝ 36(1＋ x) C．y＝ 18(1 － x)2 D． y＝ 18(1＋ x2)图 8－Z －36．如图 8－ Z － 3 是二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋ c 图象的一部分 ，图象过点 (－ 3，0)，对称轴① b 2＞ 4ac ；② 2a ＋ b ＝0；③ a ＋ b ＋ c>0；④若点 B － 5为直线 x ＝－ 1，给出四个结论： 2， y 1 ，C － 1，y 2 为函数图象上的两点 ，则 y 1＜ y 2.其中正确的是 ()2A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③图 8－Z －47．如图 8－ Z －4， Rt △ OAB 的顶点 A(－ 2，4)在抛物线 y ＝ax2上，将 Rt △OAB 绕点 O顺时针旋转 90°， 得到 △OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为 ()A ．( 2， 2)B ．(2，2)C ．( 2，2)D ．(2， 2)二、填空题 (本大题共 5 小题，共 25 分 )8． 函数 y ＝ (x － 2)(3－ x)取得最大值时 ， x ＝ ________．9． 将抛物线 y ＝ 2(x － 1)2＋ 2 向左平移 3 个单位 ，再向下平移 4 个单位长度 ，那么得到的抛物线的表达式为 ____________ ．10．如图 8－ Z － 5，某公路隧道横截面为抛物线 ，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为y 轴建立如图 2－ Z － 7 所示的平面直角坐标系 ，若抛物线的表达式为 y ＝－ 1 22 x ＋ b ，则隧道底部宽 AB 为 ________m.图 8－Z－5 图 8－Z－ 6 11．如图 8－ Z － 6 所示，已知抛物线 y＝ ax 2＋ bx＋ c 与 x 轴交于 A， B 两点，顶点 C 的纵坐标为－ 2，现将抛物线向右平移 2 个单位长度，得到抛物线2y＝ a1 x ＋ b1 x＋ c1，则下列结论正确的是 ________． (写出所有正确结论的序号)① b>0 ；② a－ b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若 c＝－ 1，则 b2＝4a.12．二次函数y＝ x2－ 2x－3 的图象如图8－ Z－ 7 所示，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB 为23个单位长度，以 AB 为边作等边三角形 ABC ，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为 ________________ ．图 8－Z－7三、解答题 (共 47 分 )13． (14 分 )如图 8－ Z－ 8，已知矩形 ABCD 的周长为 12， E， F， G， H 为矩形 ABCD 的各边中点，若 AB＝ x，四边形 EFGH 的面积为 y.(1)请直接写出y 与 x 之间的函数关系式；(2)根据 (1) 中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．图 8－Z－814．(16 分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40 元，售价为每件 60 元，每月可卖出300 件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨 1 元，每月要少卖10 件；售价每下降 1 元，每月要多卖 20 件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为 (60 ＋x)元/ 件 (x＞ 0 即售价上涨， x＜0 即售价下降 )，每月饰品销量为 y 件，月利润为 w 元．(1)直接写出y 与 x 之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6000 元，应如何控制销售价格？15． (17 分 )如图 8－ Z－ 9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A( －1，0)， B(4， 0)， C(0，－ 4)三点，P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)动点 P 运动到什么位置时，△PBC 的面积最大，求出此时点 P 的坐标和△PBC 的最大面积．图 8－Z－9详解详析1．B [解析 ] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为 (2，－3) ，所以该抛物线有最大值－3.故选 B.2．D [解析 ] 观察表格可知 ，点 (0，1)与点 (3，1)、点 (1，－ 1)与点 (2，－ 1)的纵坐标分别相等 ，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称 ，进而可求得对称轴为直线x ＝0＋ 32 (或1＋2 32 )＝ 2.故选 D.3． D 4.C 5.C26． B [ 解析 ] ①由抛物线与 x 轴有两个交点 ，得 b － 4ac ＞ 0，所以①正确；②因为对称轴为直线 x ＝－ 1，则－ b＝－ 1，即 2a － b ＝ 0，所以②错误； ③因为抛物线经过点A(－ 3，2a0)，对称轴为直线 x ＝－ 1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为 (1，0)，于是有 a ＋ b ＋ c ＝ 0，所51以③错误；④点B － 2， y 1 在对称轴左侧 1.5 个单位长度处 ，点C －2， y 2 在对称轴右侧 0.5 个单位长度处 ，找出相应的点 ，显然 y 1＜ y 2，所以④正确．故选 B.57． C 8.29． y ＝2(x ＋ 2) 2－2( 或 y ＝ 2x 2＋ 8x ＋ 6)10． 8 [ 解析 ] 由题意可知抛物线y ＝－ 1x 2＋ b 的顶点坐标为 (0， 8)，2∴ b ＝ 8， ∴抛物线的函数表达式为1 2当 y ＝ 0 时， 0＝－ 2x ＋ 8，解得1 2y ＝－ 2x ＋ 8.x ＝ 4 或－ 4，∴水面宽 AB ＝ 4＋ 4＝8(m) ．故答案为 8.11． ③④ [ 解析 ] 由题图知 ，抛物线开口向上 ， ∴ a>0.又对称轴在 y 轴的右侧 ，b∴ x ＝－ >0，∴ b<0 ，①错误．当x＝－ 1 时，抛物线在x 轴上方，∴ y＝ a－ b＋ c>0 ，②错误．设平移后的抛物线顶点为E，与 x 轴右边的交点为D，则阴影部分的面积与平行四边形CEDB 的面积相同．∵平移了 2 个单位长度，点 C 的纵坐标是－ 2，∴ S＝ 2×2＝ 4，③正确．由抛物线的顶点坐标公式，得 y C＝－ 2，24ac－ b∴＝－ 2.∵ c＝－ 1，解得 b2＝4a，④正确．故填③④.12． (1＋7， 3)或(2，－ 3)13．解： (1) ∵矩形 ABCD 的周长为 12，AB＝ x，1∴ BC＝2×12－ x＝ 6－ x.∵ E， F， G， H 为矩形 ABCD 的各边中点，1 1 2∴ y＝ x(6 － x) ＝－ x ＋ 3x，2 2即 y＝－12x2＋ 3x.1 2 1 2＋4.5，(2)y＝－ x ＋ 3x＝－(x－ 3)2 2∵a＝－1＜ 0，2∴ y 有最大值，当 x＝ 3 时， y 有最大值，为 4.5. 14．解： (1) 由题意可得：300－ 10x（0≤x≤ 30），y＝300－ 20x（－ 20≤x<0） . (2)由题意可得：（ 20＋ x ）（ 300－10x ）（ 0≤x ≤30）， w ＝（ 20＋ x ）（ 300－ 20x ）（－ 20≤x<0），化简得：－ 10x 2＋ 100x ＋ 6000（0≤x ≤30），w ＝－ 20x 2－ 100x ＋ 6000（－ 20≤x<0），－ 10（ x － 5） 2＋ 6250（ 0≤x ≤30），即 w ＝ － 20（ x ＋ 5）2 ＋6125（－20≤x<0）. 2由题意可知 x 应取整数 ，所以当 x ＝－ 2 或 x ＝－ 3 时， w ＜ 6125＜ 6250 ，故当销售价格为每件65 元时 ，月利润最大 ，最大月利润为 6250 元．(3)由题意得 w ≥ 6000，如图，令 w ＝ 6000 ，5 2 2＋ 6250， 即 6000＝－ 20(x ＋ ) ＋ 6125， 6000＝－ 10(x － 5)2解得 x 1＝－ 5， x 2＝ 0， x 3＝10，∴－ 5≤x ≤10，故将销售价格控制在55 元到 70 元之间 (含 55 元和 70 元 )，才能使每月利润不少于6000元．15． 解： (1) 设这个二次函数的表达式为y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，a －b ＋c ＝ 0，a ＝1，把 A ， B ， C 三点的坐标分别代入可得16a ＋ 4b ＋ c ＝ 0，解得 b ＝－ 3， c ＝－ 4，c ＝－ 4，∴这个二次函数的表达式为y ＝ x 2－ 3x － 4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP ，交 OC 于点 D ，交 BC 下方抛物线于点P ，连接 OP ， CP ，如图① ，∴PO＝ PC，此时点 P 即为满足条件的点．∵ C(0，－ 4)，∴D(0，－ 2)，∴点 P 的纵坐标为－ 2.当 y＝－ 2 时，即 x2－3x－ 4＝－ 2，解得 x1＝3－17(不合题意，舍去)，x2＝3＋17.2 23＋17∴存在满足条件的点P，其坐标为 (，－2)．(3)∵点 P 在抛物线上，∴可设 P(t ，t2－ 3t－ 4)．过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图② ，∵B(4， 0)，C(0，－4)，∴直线 BC 的函数表达式为y＝x－ 4，∴F(t， t－ 4)，∴PF＝ (t－4)－ (t2－ 3t－ 4)＝－ t2＋ 4t，∴S△PBC ＝S△ PFC＋S△ PFB＝1 1 1 1 1 2×4 2PF·OE＋ PF ·BE＝ PF ·(OE＋ BE )＝PF ·OB＝(－ t ＋ 4t)2 2 2 2＝－ 2(t－2)2＋ 8，∴当 t＝ 2 时， S△PBC最大，且最大值为8，此时 t2－ 3t－ 4＝－ 6，∴当点 P 的坐标为 (2，－ 6)时，△ PBC 的面积最大，最大面积为8.。