因此，ms(t)的傅里叶变换Ms(f)可以写为：
M s(f) M (f)(f)
而(f)是周期性单位冲激脉冲的频谱，它可以求出等于：
(f)T 1n (f nsf)
式中， fs 1/T
将上式代入 Ms(f)的卷积式，得到
M s(f)T 1M (f)n (fns)f
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第9章模拟信号的数字传输
M s(f)T 1M (f)n (fns)f
上式中的卷积，可以利用卷积公式：
f(t) (t) f()(t )d f(t)
进行计算，得到
M s(f) T 1 M (f) n (f ns) f T 1 M (f ns)f
上式表明，由于M(f - nfs)是信号频谱M(f)在频率轴上平移了 nfs的结果，所以抽样信号的频谱Ms(f)是无数间隔频率为fs的 原信号频谱M(f)相叠加而成。
仍然是模拟调制，因为其代表信息的参量仍然是可 以连续变化的。
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第9章模拟信号的数字传输
由于原信号频谱的最低频率fL和最高频率fH之差永远等于信 号带宽B，所以当0 fL < B时，有B fH < 2B。这时n = 1，而 上式变成了fs = 2B(1 + k)。故当k从0变到1时，fs从2B变到4B， 即图中左边第一段曲线。当fL＝B时，fH＝2B，这时n = 2。故 当k＝0时，上式变成了fs = 2B，即fs从4B跳回2B。当B fL < 2B时，有2B fH < 3B。这时，n = 2，上式变成了fs = 2B(1 + k/2)，故若k从0变到1，则fs从2B变到3B，即图中左边第二段 曲线。当fL＝2B时，fH＝3B，这时n = 3。当k＝0时，上式又 变成了fs = 2B，即fs从3B又跳回2B。依此类推。
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第9章模拟信号的数字传输
9.3 模拟脉冲调制
模拟脉冲调制的种类
周期性脉冲序列有4个参量：脉冲重复周期、脉冲振 幅、脉冲宽度和脉冲相位（位置）。
其中脉冲重复周期（抽样周期）一般由抽样定理决 定，故只有其他3个参量可以受调制。
3种脉冲调制：
脉冲振幅调制(PAM) 脉冲宽度调制(PDM) 脉冲位置调制(PPM)
这里，恢复原信号的条件是：
fs 2fH
即抽样频率fs应不小于fH的两倍。这一最低抽样速率2fH称为 奈奎斯特速率。与此相应的最小抽样时间间隔称为奈奎斯特 间隔。
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第9章模拟信号的数字传输
恢复原信号的方法：从上图可以看出，当fs 2fH时，用一个 截止频率为fH的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出 原信号。从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤 波器时，滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如下图所 示。这些冲激响应之和就构成了原信号。
m s(t)m (t)T(t)
用波形图示出如下编：辑ppt
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第9章模拟信号的数字传输
m(t)
(a)
T(t)
-3T -2T -T 0 T 2T 3T
(c) ms(t)
(e)
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第9章模拟信号的数字传输
令M(f)、(f)和Ms(f)分别表示m(t)、T(t)和ms(t)的频谱。按照 频率卷积定理，m(t)T(t)的傅里叶变换等于M(f)和(f)的卷积。
t
理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做
到如此陡峭。所以，实用的抽样频率fs必须比2fH 大一些。
例如，典型电话信号的最高频率通常限制在3400 Hz，而抽
样频率通常采用8000 Hz。编辑ppt
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第9章模拟信号的数字传输
9.2.2 带通模拟信号的抽样定理
设带通模拟信号的频带限制在fL和fH之间，如图所示。
fs 4B
3B
2B
B
0
B
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2B 3B 4B 5B 6B
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fL
第9章模拟信号的数字传输
由上图可见，当fL = 0时，fs ＝2B，就是低通模拟信号的抽样 情况；当fL很大时，fs趋近于2B。fL很大意味着这个信号是一 个窄带信号。许多无线电信号，例如在无线电接收机的高频 和中频系统中的信号，都是这种窄带信号。所以对于这种信 号抽样，无论fH是否为B的整数倍，在理论上，都可以近似 地将fs取为略大于2B。 图中的曲线表示要求的最小抽样频率fs，但是这并不意味着 用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。
【证】设有一个最高频率小于fH的信号m(t) 。将这个
信号和周期性单位冲激脉冲T(t)相乘，其重复周期为
T，重复频率为fs = 1/T。乘积就是抽样信号，它是一 系列间隔为T 秒的强度不等的冲激脉冲。这些冲激脉
冲的强度等于相应时刻上信号的抽样值。现用ms(t) = m(kT)表示此抽样信号序列。故有
即其频谱最低频率大于fL，最高频率小于fH，信号带宽 B = fH －fL。可以证明，此带通模拟信号所需最小抽样 频率fs等于
பைடு நூலகம்
fs
2B(1 k) n
-fH -fL 0 fL fH f
式中，B － 信号带宽；
n － 商(fH / B)的整数部分，n =1，2，…；
k － 商(fH / B)的小数部分，0 < k < 1。 按照上式画出的fs和fL关系曲线示于下图：
用频谱图示出如下：
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第9章模拟信号的数字传输
|M(f)|
f
-fH
fH
-2/T
-1/T
(f)
fs
0
1/T
2/T f
|Ms(f)| fs
-fH 0 fH
f
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第9章模拟信号的数字传输
因为已经假设信号m(t)的最高频率小于fH，所以若频率间隔fs 2fH，则Ms(f)中包含的每个原信号频谱M(f)之间互不重叠， 如上图所示。这样就能够从Ms(f)中用一个低通滤波器分离出 信号m(t)的频谱M(f)，也就是能从抽样信号中恢复原信号。
通信原理
第9章模拟信号的数字传输
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第9章模拟信号的数字传输
9.1 引言
数字化3步骤：抽样、量化和编码
抽样信号
抽样信号 量化信号
011
100
100
011 011
100
100 编码信号
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t
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第9章模拟信号的数字传输
9.2 模拟信号的抽样
9.2.1 低通模拟信号的抽样定理
抽样定理：设一个连续模拟信号m(t)中的最高频率 < fH，则以间隔时间为T 1/2fH的周期性冲激脉冲对它 抽样时，m(t)将被这些抽样值所完全确定。