加试模拟训练题（30）
1、 设ABCDEF 是凸六边形，满足AB ＝BC ＝CD ，
DE ＝EF ＝FA ，∠BCD ＝∠EFA ＝60º．设G 和H 是这六边形内部的两点，使得∠AGB ＝∠DHE ∠120
º
试证：AG ＋GB ＋GH ＋DH ＋HE ≥CF ．
2. 设,,0N n a ∈>求证n n a a a a a a n n 1
11
23242+≥
+++++++-ΛΛ
3、设有两个完全相同的齿轮A、B，B被平放在一个水平面上，A放在B上面并使两者完全重合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿．如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮A绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断．
4．求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.
加试模拟训练题（30）
1、 设ABCDEF 是凸六边形，满足AB ＝BC ＝CD ，
DE ＝EF ＝FA ，∠BCD ＝∠EFA ＝60º．设G 和H 是这六边形内部的两点，使得∠AGB ＝∠DHE ∠120
º
试证：AG ＋GB ＋GH ＋DH ＋HE ≥CF ．
【题说】 第三十六届(1995年)国际数学奥林匹克题 5． 【证】 连BD ，AE ．由于BC ＝CD ，∠BCD ＝60º，所以BD ＝BC ＝AB ．同样AE ＝ED ．
连 BE ，则 A 、D 关于 BE 对称．设 G 、H 关于 BE 的对称点分别为G '、H '．则△BG 'D 与△BGA 关于BE 对称，所以∠BG 'D ＝∠BGA ＝120º，G '在正三角形BCD 的外接圆上． 熟知
CG '＝DG '＋G 'B ＝AG ＋GB 同理
HF ＝AH '＋H 'E ＝DH ＋HE 因此
AG ＋GB ＋GH ＋DH ＋HE ＝CG '＋G 'H '＋H 'F ≥CF
2. 设,,0N n a ∈>求证n n a a a a a a n n 1
11
23242+≥
+++++++-ΛΛ 证明 设数列}{n a 的通项公式为
n a a a a a a a n n n 1
111
23242-
-+++++++=-ΛΛ n a a
a a n 1111
23--++++=
-Λ. 则 n n a a -+1
111112123+--+++++=
+-n a a
a a a n n Λn a a a a n 1
111
23++-+++--Λ )
)((1
231212312-+-++++++++-=n n n n a a a a a a a a ΛΛ )1(1
++n n 由1123121
23
)1(+++-⋅⋅⋅+≥++++n n n n a a a n a a
a a ΛΛ.)1(1++=n a n
n n n a a a n a a a 123123--⋅⋅⋅≥+++ΛΛ.n na =
得)
)((1
231212312-+-++++++++-n n n n a a a a a a a a ΛΛ)1(1
+-≥n n . 故 n n a a -+10≥.
所以数列}{n a 为单调递增数列,又 0)1(21221≥-=-+=a
a a a a .
所以 .0≥n a 即 n n a
a a a a a n n 1
11
23242+≥+++++++-ΛΛ. 3、 设有两个完全相同的齿轮A 、B ，B 被平放在一个水平面上，A 放在B 上面并使两者完全重
合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿．如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮A 绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断． 【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题5． 【解】将每个断齿赋值“0”，好齿赋值“1”．对A 齿轮的每个位置，作两轮对应位置齿值的乘积之和，初始位置除外的13个位置总和为10×9＝90＜13×7，故必有一个位置的和≤6．此时必定任二断齿不相重合．
当齿数为13时，将A 、B 重合时各对齿依顺时针记为0，1，…，12．锯掉0，1，5，11四对齿．0，1，5，11两两之差恰取遍1，2，…，12(mod 13)．故对A 的任一位置总有两个断齿重合，始终得不到完整的投影．
4．求出最小正整数n ，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.
（第26届IMO 预选题）
【解】根据题目要求，n 是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.
由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32
·5·7的因式，因此，若设
,11753254321Λααααα⋅⋅⋅⋅=n 则.1,1,2,34321≥≥≥≥αααα由
,144)1)(1)(1)(1(4321=++++Λαααα而,482234)1)(1)(1)(1(4321=⋅⋅⋅≥++++αααα故最
多还有一个,2),5(0≤≥>j j j αα且为使n 最小，自然宜取.025≥≥α由
)0(144)1)(1)(1)(1()0(144)1)(1)(1)(1)(1(54321554321时或时==++++≠=+++++ααααααααααα,考虑
144的可能分解，并比较相应n 的大小，可知合乎要求的（最小）,2,521==αα
,1543===ααα故所求的.11088011753225=⋅⋅⋅⋅=n。