证 由于 f x 在闭区间a,b上连续函数，
从而一致连续．因而对任给的 0，总存在
0 ，当把区间 a,b分成 n 个小区间
xi1, xi i 1, , n 并且满足
max xi xi xi1 i 1, , n 时，可使
在每个小区间xi1, xi 上的振幅都成立
i
ba
现把曲线 K 按自变量 x x0, x1, , xn 分成 n 个小段，
2 , ， n，其中 i 表示第i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个 i 上任取一点(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2, , n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体
积之和为 n
n
Vi f (i ,i ) i
i 1
i 1
4）取极限：
n
V lim 0 i1
f
i ,i
i
其中
max
1in
的直径
i
2 平面薄片的质量
设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点
（ x , y )处的密度为 r( x, y)
求：此薄片的质量
S
P
T
，)
定义 1 若平面图形 P
的内面积 I P 等于它的
外面积 I P ，则称 P 为可 求面积，并称其共同值
I P = I P = I P 为 P 的面积
（约当，黎曼测度）
定理 21.1 平面有界图形 P 可求面积的
充要条件是：对任给的 0，总存在直线网T ，
1) 区域D可分割成n个小区域：
1， 2， i , , n y
2）取点 i ,i i
•
n
3）作和 ri ,i i
i 1
n
o
4）取极限
M
Lim
0
i 1
r
i ,i
i
(i ,i )
i
x
3.二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
注： 1） 在二重积分定义中，对区域D的划分 是任意的，故 如果在直角坐标系中用平
行于坐标轴的直线网来划分 D，则除了包含，
边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域
第二十一章 重积分
§1 二重积分的概念 §2 直角坐标系下二重积分的计算
§3 格林公式•曲线积分与路线的无关性 §4 二重积分的变量变换
§5 三重积分 §6 重积分的应用
§1 二重积分的概念
一、 平面图形的面积 二、 二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质
一 平面图形的面积
1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念 直线网T 分割平面图形 P，T 的网眼中小闭矩
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
z f (x, y) D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
播放
曲顶柱体的体积
一曲顶柱体其顶为曲面 z f ( x, y)底面为平
面区域 D,求此曲顶柱体的体积。
解：对区域D进行网状分割（如图）
1) 区域D可分割成n个小区域：
1， 2， i , , n
z
z f (x, y)
o
x
D
•
n
i
曲顶柱体的体积 V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
2）近似： 每个个小区域 i 内任取一点 (i ,i ), 则每个小曲顶柱体的体积近似为：
Vi f (i ,i ). i
由 的任意性，因此 I P = I P ，因而平面图
形 P 可求面积.
推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要
条件是它的外面积 I P 0 ，即对任给的 0，存
在直线网
T
，使得，
S
P
T
或对任给的 0，平面图形 P 能被有限个其面
积总和小于 的小矩形所覆盖．
定理21．2 平面有界图形P可求面积的充 要条件是：P的边界K的面积为零．
这时每一个小段都能被以 xi 为宽， i 为高
的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总
和为
n
i xi
i 1
ba
n
xi
i 1
所以由定理 21．1 的推论即得曲线 K 的面积为零．
还可证明得到：
由参量方程 x t,Y t t 所表示
的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零．
二 二重积分的定义及其存在性
形 i 的分类： （ⅰ） i 含的全是 P 的内点
（ⅱ） i 含的全是 P 的外点（不含 P 的点） （ⅲ） i 内含有 P 的边界点
记 sP T 为 T 的第ⅰ类 i 的面积的和．
记 SP T 为T 的第ⅰ和第三类 i 的面积的和．
记
I
P
=
s
ups
T
P
T
，称为
P
的内面积．
记
I
P
=
inf T
网，可证得
sP T1 sP T
于是由（3）可得
SP T2 SP T
sP
T
IP
2
,
SP
T
IP
2
从而得到对直线网T 有 SP T sP T
[充分性]对任给的 0，存在直线网T ，
使得（2）式成立．但
sP T I P I P S P T
所以 I P I P S P T sP T
证 由定理21．1，P可求面积的充要条件是：
对任给的 0，存在直线网T ，使得
SP T sP T
由于 SK T SP T sP T
所以也有 SK T ．由上述推论，P 的边
界 K 的面积为零．
定理 21．3 若曲线 K 为由定义在a,b上
的连续函数 f x 的图象，则曲线 K 的面积为零.
使得 S P T sP T （2）
证 [必要性]设平面有界图形 P 的面积为 I P ．
由定义 1，有 I P = I P = I P ．对任给的 ，由
I P 及 I P 的定义知道，分别存在直线网 T1 与
T2 ， 使得
sP T1
IP
2
,
S P T2
IP
2
(3)
记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并的直线
都是矩形闭区域。设矩形小闭区域
的边长为 x j 和 yk ,