复变函数的指数式与三角函数的再认识
关于复变三角函数和指数式如何取值，一直以来都是一个模糊概念，因为这些东西太抽象，所以绞尽脑汁总算有点眉目，说出来和大家共同讨论。
在实数域里，三角函数和指数函数都对应有具体值，并且在其定义域内都可以求导。
然而在复数域里三角函数和指数式没有明确的值与其对号入座，因此更加的不可思议的神秘，然而数学家们为了分析研究它做出了很大的努力，得到了很了不起的一些成就，欧拉公式建立了指数式和三角函数的纽带，复变函数的泰勒公式，自然对数在复变函数领域的研究都起到了桥梁作用，等等。
三角函数及指数函数值的确立及其它们内在的联系规律的发现或建立，在现实生活中都有重要的应用，涉及到电学，力学，热力学，流体等各个方面。
我们转入正题，要想使复变函数的三角函数和指数函数有意义，我们首先必须确定它们的具体函数值，函数值都没有又何谈函数呢？我们知道实数域的初等函数在其定义域内是可以求导的，那么复变函数也应该满足这个要求，其次怎么去求这个值，得有个思路，要合情
合理。
首先我们以自然数e 开始，我们知道它是个无理数n
n n e ⎪⎭⎫
⎝⎛+=∞
→11lim ，我们分析这样
的一个式n
n x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+1，x 为实数，n 趋于无穷大的实数，我们把它做一下变形：
x x x
n
x n x x
n
x x
n n
e x n x n n x n x =⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⇔⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+⇔⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛+•∞→••11lim 1111
那么当上式中x 是复数z 时也应该上面形式的极限，即：
z n
z
n e n z =⎪⎭⎫
⎝⎛+∞→1lim 首先我们分析i z =，我们有n
n n i n z ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+11，然而由复数的乘法我们有：
n
n n
n Arctg i n Arctg n n i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1sin 1cos 1112
2 我们知道当n 趋于无穷大时n
n Arctg
n 1
1lim =∞
→，于是 ()
()1
sin 1cos 1sin 1cos lim 1sin 1cos 11lim 1sin 1cos 11lim 212122
22i i e
i n n Arctg i n Arctg n n
n n
n n n
n n +=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∞
•
∞→∞
→
我们做如下一个变形：
i i
n
n
i n n i •⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⇔⎪⎭⎫
⎝⎛+111
我们为了求出复变函数复变函数指数式i
e 的值，又因为极限i
n n i n ⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 没有实际定义，我
们不妨“认定”极限e i n i
n
n =⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛+∞→11lim ，这样我们就可以确定i
e 的值，于是下式就画上等号：
1sin 1cos 1lim i e n i i n
n +==⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→ 这就是复变函数指数式求值的关键思路，即把i
e 与1sin 1cos 1lim i n i n
n +=⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→建立一个意
义映射。
同理当z 为任意复数时，我们“认定”极限e z n z
n
n =⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+∞
→11lim ，于是
()ib
a i
b a a n
n n
n
n n
n n
n e e e b i b e a n nb i a n nb n a a n b Arctg i a n b Arctg n b n a n b i n a n ib a ib a z +∞→∞→∞→∞→==+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=sin cos sin cos 1lim sin cos 1lim 1lim 1lim ,
2
2
2
特别的当x 为这种形式的复数iz ，z 是任意复数，我们有：
n
n n n
n n z Arctg i n z Arctg n z n iz ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫
⎝⎛+∞→∞→sin cos 1lim 1lim 2
22
这里也规定n
z
n z Arctg n =∞→lim ，于是
()
()iz
z n
z z n n n
n
n n
n e z i z e z i z z n n z Arctg i n z Arctg n z n iz =+=+⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫
⎝⎛+•∞→∞→∞→sin cos )(sin cos 1
1lim sin cos 1lim 1lim 2
2
2202222
22
总结复变函数的指数式ib
a e
+与复变三角函数都是未定的，为了复变函数发展和实际应用我
们必须构建出它们的函数值以满足实际需要。
未完待续！。