三、走进高考 4．[2019·全国Ⅰ卷]设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点 为(x，y)，则( ) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案：C 解析：由已知得，z＝x＋yi， ∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.
答案：B 解析：i－5 2＝2－－5i22＋＋ii＝－105－5i ＝－2－i，其共轭复数为－2＋i，故选 B.
2．[必修二·P94 复习参考题 7 T1(3)改编]当23<m<1 时，复数 m(3＋i) －(2＋i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．[2019·全国Ⅱ卷]设 z＝i(2＋i)，则－z ＝( ) A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i
答案：D 解析：z＝i(2＋i)＝－1＋2i ∴－z ＝－1－2i.
题型一 复数的概念[自主练透]
1．已知 a 为实数，若复数(a＋i)(1－2i)为纯虚数，则 a 等于( ) A．－12 B．2 C．12 D．－2
2．复数的几何意义 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点__Z_(_a_，__b_)__及平面向量O→Z＝(a， b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算 运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2 —a＋bi±c＋di＝__a_±_c_＋___b_±_d__i
(2)若复数 z＝(a2＋a－6)＋(a－2)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则|z| 等于( )
A．5 B．0 C．0 或 5 D．1
答案：A
解 析 ： 因 为 复 数 z ＝ (a2 ＋ a － 6) ＋ (a － 2)i 为 纯 虚 数 ， 所 以
a2＋a－6＝0， a－2≠0，
解得 a＝－3，此时 z＝－5i，则|z|＝5，故选 A.
(3)不共线向量 a，b 满足|a|＝|b|，且 a⊥(a－2b)，则 a 与 b 的夹角 为________．
答案：D 解析：z＝12＋＋2ii＝12＋＋2ii22－－ii＝45＋35i，所以－z ＝45－35i，复数－z 在
复平面内对应的点(45，－35)位于第四象限，故选 D.
(2)[2020·山东潍坊模拟]若复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚
轴对称，z1＝1＋i，则zz12＝(
)
A．i B．－i
答案：D 解析：∵z＝a＋i，|z|＝2， ∴|a＋i|＝2， ∴a2＋12＝4， 解得 a＝± 3.
(3)复数 z＝|( 3－i)i|＋i2 020(i 为虚数单位)，则|z|＝( ) A．2 B. 3 C．3 D. 2
答案：C 解析：z＝|( 3－i)i|＋i2 020＝|1＋ 3i|＋i4×505 ＝ 1＋ 32＋1＝2＋1＝3.
方法二 本题也可利用平面向量的坐标运算，以 BC 的中点 O 为
坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐
标系，则 B(－32，0)，C(32，0)，A(0，323)，由 6C→M－3C→A＝2C→B，得
M(－14，3 4 3)，则A→M·B→M＝(－14，－3 4 3)·(54，3 4 3)＝－156－2176＝－2， 故选 B.
答案：ABD 解析：复数 z＝1＋2 i＝1＋21i－1－i i＝1－i，所以 z 的虚部为－1，选 项 A 错误；|z|＝ 2，选项 B 错误；z2＝－2i，为纯虚数，选项 C 正确； －z ＝1＋i，选项 D 错误．故选 ABD.
类题通法 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚
(3)[多选题]在复平面内，下列复数对应的点与复数 z＝1＋2i 在同 一个圆上的是( )
A．z＝ 2＋ 3i B．z＝－2＋i C．z＝1＋ 5i D．z＝5＋i
答案：AB 解析：因为 z＝1＋2i，所以|z|＝ 5， 对于 A 中，|z|＝ 22＋ 32＝ 5， B 中，|z|＝ －22＋12＝ 5， C 中，|z|＝ 1＋ 52＝ 6， D 中，|z|＝ 52＋1＝ 26. 故与复数 z＝1＋2i 对应的点在同一个圆上的是 A，B.
z1·z2
—a＋bic＋di＝__a_c_－__b_d_＋___b_c_＋__a_d_i_
z1 z2
—ac＋＋dbii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2dic＋di≠0
【教材提炼】
一、教材改编 1．[必修二·P94 复习参考题 7 T1(2)改编]复数i－5 2的共轭复数是 () A．i＋2 B．i－2 C．－2－i D．2－i
答案：D 解析：m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i， ∵23<m<1， ∴3m－2>0，m－1<0， ∴其对应的点在第四象限．
二、易错易混 3．z＝(3＋2i)(2－5i)，则复数 z 的虚部为( ) A．16 B．－11 C．－11i D．－16
答案：B 解析：依题意，z＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i＋4i＋10＝16－11i，故 复数 z 的虚部为－11.故选 B.
答案：B
解析：方法一 由题意可得C→A·C→B＝92，C→M＝12C→A＋13C→B，A→M·B→M
＝(C→M
－
C→A
)·(C→M
－C→B
)
＝
(
－12
C→A
＋
1 3
C→B)·(12
C→A
－
2 3
C→B
)＝
－
1 4
C→A2
＋12
C→A·C→B－29C→B2＝－94＋12×92－29×9＝－2，故选 B.
C．1 D．－1
答案：B 解析：由题意知复数 z2＝－1＋i，则zz12＝－1＋ 1＋i i＝－1＋1＋ii－－1－1－ii ＝－12＋i2＝－i，故选 B.
(3)已知复数 z＝a2＋ －ii(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象
限，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－2，12)
B．(－12，2)
答案：D 解析：(a＋i)(1－2i)＝a＋2＋(1－2a)i， ∵复数是纯虚数，∴a＋2＝0 且 1－2a≠0， 得 a＝－2 且 a≠12，即 a＝－2.故选 D.
2．[2020·山东泰安质量检测]若复数(2－i)(a＋i)的实部与虚部互为 相反数，则实数 a＝( )
A．3 B．13 C．－13 D．－3
3．已知复数 z 满足(3＋4i)z＝1－2i，则 z＝( ) A．－15＋25i B．－15－25i C.15＋25i D.15－25i
答案：B 解析：z＝13－＋24ii＝13－ ＋24ii33－ －44ii＝－15－25i.
4．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足(1＋i)z＝1－i，则 z2021＝________.
2．[2020·山东青岛教学质量检测]已知 i 为虚数单位，实数 a，b 满足(2－i)(a－bi)＝(－8－i)i，则 ab 的值为( )
A．6 ห้องสมุดไป่ตู้．－6 C．5 D．－5
答案：A 解析：由(2－i)·(a－bi)＝(－8－i)i，整理得(2a－b)－(a＋2b)i＝1 －8i，即a2＋a－2bb＝＝81，， 解得ab＝ ＝23， ， 即 ab＝2×3＝6，故选 A.
C．(－∞，－2) D．(12，＋∞)
答案：C
解析：因为复数 z＝a2＋－ii＝a2＋－ii22＋＋ii＝2a－1＋52＋ai＝2a5－1＋
2＋a 5i
在
复
平
面
内
对
应
的
点
(
2a－1 5
，
2＋a 5
)
位
于
第
三
象
限
，
所
以
2a5－1<0， 2＋5 a<0，
解得 a<－2，故选 C.
类题通法 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个 向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相 等直接给出结论即可.
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔___a_＝__c_且___b＝ __d___ (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔__a_＝__c_，__b_＝__－__d__ (a，b，c， d∈R)．
(5)模：向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作⑧___|a_＋__b_i|___ 或__|z_|__，即|z|＝|a＋bi|＝____a_2_＋__b_2 _ (a，b∈R)．
尖子生阅读
平面向量中的热点问题 高考与原来对比，考试要求没有变化，只是教材结构发生了变化， 原来的解三角形(正弦、余弦定理)放在了平面向量这一章中的平面向 量的应用．所以这一章中有两大热点问题：一是平面向量的数量积， 二是正弦、余弦定理的应用．
热点一 平面向量的数量积及应用 [例 1] (1)[2020·山东临沂质量检测]已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，k)， a⊥(2a－b)，则 k＝( ) A．－8 B．－6 C．6 D．8
第5节 复数
【教材回扣】
1．复数的有关概念
(1)定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a 叫做复数 z
的_实__部__，b 叫做复数 z 的_虚__部__ (i 为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b 为实数)
复数的 分类
a＋bi 为实数⇔_b_＝__0_ a＋bi 为虚数⇔_b_≠__0_ a＋bi 为纯虚数⇔_a_＝__0__且__b_≠__0____
类题通法 复数 z＝a＋bi，(a，b，∈R)的模|z|＝ a2＋b2.