4.3.2 空间两点间的 距离公式
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1 P2 | (x 2 x1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
从而， | AC |
2
| BC|2 | AB |2
根据勾股定理，结论得证。
当堂检测
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A ）
A.4 3 C .4 2 B.2 3 D.3 2
2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射 影，则OB等于（ B ）
A. 14 C .2 3
从立体几何可知，|OP| 2 =|OA| 2 +|OB| 2 +|OC| 2
所以
| OP | x 2 y 2 z 2
思考 如果|OP|是定长r，那么 x y z r
2 2 2
2
表示什么图形？ y
联想
x
O r
x2 y 2 r 2
表示什么图形？
表示以原点为圆心，r为半径的圆。
思考
2 2 2 2 如果|OP|是定长r，那么 x y z r 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
例三
已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6， -1，4），求证: ΔABC 为直角三角形.
证明：利用空间中两点间距离公式，得
| AB | 89, | AC | 75, | BC| 14
B. 13 D. 11
3.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距 离都是1，则该点到原点的距离是（ A）
6 2 3 C. 2 A.
B. 3 6 D. 3
4.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B （2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为 D （ ） A．（7/2,，4，-1） B．（2，3，1） C．（-3，1，5） D．（5，13，-3）
| P1 P2 | (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 (z 1 z 2 ) 2
z
P1 (x1 , y 1 , z 1 )
O
P2 (x2 , y 2 , z 2 ) x
yLeabharlann 空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z C 0 P(x,y,z) By
x A
|OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z|
课堂小结
1、右手直角坐标系 2、点在空间直角坐标系中的坐标 z z x M （x，y，z） y y
O
x 3.空间中两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 ) 的距离公式是：
| P1 P2 | (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 (z 1 z 2 ) 2
P1
y
o
P2
x
自学思考
1、自学课本136-137页，时间5分钟； 2、思考：
（1）平面内两点间的距离公式是什么？
（2）空间中两点间的距离公式是什么？
2 2 2 2 x y z r （3）如果|OP|是定长r，那么 表示什么图形？
空间中两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 )的距离公式是：