图形与几何整理和复习
整理教师：刘新民
一、基础知识回顾
（一）位置与方向（二）
1. 在平面图上标出物体位置的方法：先用量角器确定它在什么方向，再以选定的单位长度为基准用直尺确定图上距离（几个单位长度），最后找出物体的具体位置，标上名称。
2. 描述路线图的方法：先按行走路线确定观测点，再确定行走的方向和距离。
即每走一步，都要说清从哪里出发，向什么方向走多远的距离。
3. 绘制路线图的方法：
（1）确定风向标和单位长度。
（2）确定起点的位置。
（3）从起点出发，根据描述确定方向和距离。
每走一段路，都要重新确定观测点。
（二）圆
1. 圆的各部分名称。
（1）圆心：圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。
（2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。
（3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
2. 圆的特征。
（1）在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的
长度是半径的2倍，用字母表示为d =2r 或r =2
d。
（2）圆具有对称性，圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。
3. 用圆规画圆的方法：
（1）先把圆规的两脚叉开，定好两脚的距离作为半径。
（2）再把带有针尖的脚固定在一点上作为圆心。
（3）然后把装有铅笔的脚旋转一周，就画出一个圆。
明确：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
4. 圆的周长
（1）圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，一般用字母C 表示。
（2）圆周率：圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，一般用字母π表示，π是无限不循环小数，一般取近似数π≈。
（3）圆的周长计算公式：C=πd 或C=2πr 。
5. 圆的面积。
（1）圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S 表示。
（2）圆的面积计算公式：S=πr 2。
6. 圆环的面积计算公式：S 环=πR2-πr 2或S=π(R2-r 2),其中R 是外圆半径，r 是内圆半径。
6. 有关“外方内圆”和“外圆内方”的问题。
（1这个圆的直径等于正方形的边长。
如果圆的半径为r
方形和圆之间部分（阴影部分）的面积为2r ×2r -πr 2=（4-π）r 2=r 2。
（2
这个正方形的对角线等于圆的直径。
如果圆的半径为r ，那么正 方形和圆之间部分（阴影部分）的面积为πr 2-2r ×r ÷2×2 =（π-2）r 2=r 2。
7. 扇形。
（1）弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。
（2）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
（3）圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。
（4）在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角大小有关。
二、例题精讲
例1、在右图中标出各建筑物的位置。
（1）教学楼在大门正北方向300m 处。
（2）食堂在大门西偏北30°方向200m 处。
（3）图书馆在大门东偏北40°方向400m 处。
分析与解答：确定物体的位置，应先观测点建立“┼” 方向标，再确定该物体在观测点的什么方向，距该点
有多远。
在大门的正北方向截取3个单位长度并作上记号，该点就是教学楼；先用量角器以大门为顶点，在西偏北30°的方向的位置作一条射线，并在这条射线上截取2个长度单位作上记号，该处就是食堂的位置；同样先用量角器以大门为顶点在东偏北40°方向作一条射线，并在这条射线上截取4个长度单位作上记号，该处就是图书馆的位置（如图）。
例2
、下面是明明一家开车去度假村的行驶路线图。
请你根据线路图描述明明一家的行驶路线。
大门 100m 北
分析与解答：描述明明一家的行驶路线的关键是要明确两点：一是向哪个方向走，二是向该方向走了多远距离。
因为一个单位长度代表5㎞，明明一家向西走5×5=25㎞，再往西偏南25°方向走5×3=15㎞，然后向东偏南25°方向走5×2=10㎞就到了度假村。
例3、求右图中阴影部分的周长。
（单位：㎝）
长是指两个半圆弧再2个2半正好和成一个整圆，那么把阴影部分的周长就转化为圆的周长加2个2㎝，即圆的周长为×2=（㎝）
，所以阴影部分的周长是+2×2=（㎝）。
例4、草场上有一个木屋，木屋的地基是边长为3m 的正方形（如右图），A 点是木屋的一角，在A 点有一根木桩，用6m 上，这匹马的最大活动范围是多少
分析与解答：这匹马开始的活动范围是以6m 马活动到木屋转角对面（虚线）处，因为被木屋挡了3m 此时又以6-3=3（m ）为半径活动到另一个角（由于绳子长6m ，
刚好是两边的长度），从图上可以看出是以6m 为半径的圆面积的4
3
与2个
北
5㎞
以3m 为半径的圆面积的41的和，即马活动的最大范围是×62×4
3+×32×
4
1
×2=（m2）。
例5、右图中阴影部分的面积是㎝2，正方形的面积是多少
可以看出这个正方形的边长也就是图中4
1
面积等于正方形的面积减去4
1a ㎝，那么阴影部分面积=a2-41××a2，即
a2-4
1×× a2=，解得a2=40（㎝2）。
故正方形的面积是40㎝2。
三、考点练习 （一）填空。
1. 一个半径是1dm 的圆，如果半径增加1dm ，那么周长增加（ ）dm ，面积增加（ ）dm2。
2. 一个圆的周长和一个正方形的周长相等，正方形的周长是，圆的面积是（ ）dm2。
3. 画圆时，圆规两脚之间的距离是5㎝，所画圆的周长是（ ）㎝，面积是（ ）㎝2。
4. 两个圆的半径比是1∶3，它的周长比是（ ），面积比是（ ）。
5. 圆有（ ）条对称轴，半圆有（ ）条对称轴，圆环有（ ）条对称轴。
6. 看图填空。
北
（1）从青城看，蓝城位于（ ）偏（ ）（ ）°方向；从蓝城看，青城位于（ ）偏（ ）（ ）°方向。
（2）有两辆车分别同时从青城和蓝城相对开出，客车速度为80千米∕时，货车速度为50千米∕时，（ ）小时后两车相遇。
（二）判断。
1. 两个圆的面积相等，则两个圆的直径、半径都相等。
（ ）
2. 同一个圆的周长和半径的比是2π∶1.（ ）
3. 半圆的周长是圆周长的一半。
（ ）
4. 两端在圆上的线段是圆的直径。
（ ） （三）选择。
1. 下列的说法正确的是（ ）
A. 圆心确定圆的位置
B. 半径的长度的直径的一半
C. 半径是射线
2. 半径为2㎝的半圆的面积是（ ）㎝2。
A. B. C.
3. 一个圆环，外圆半径是内圆半径的2倍，这个圆环的面积和内圆面积的比是（ ）。
A. 1∶4
B. 4∶1
C. 3∶1
4. 小王在小李北偏东30°方向的50m 处，与这句话相符的图是（ ）。
A. B. C.
小王
北 北 北
5. 圆的半径由2㎝增加到3㎝，这个圆的周长增加了（）㎝。
A. 1
B. 5 π D.π
（四）根据所描述的路线，绘制出小东从家到书店的行走路线图。
小东从家出发，先向北偏东20°方向走200m，再向东走400m，最后向东南方向走100m到达书店。
（单位：㎝）
（六）解决问题。
1. 一辆自行车车轮的外直径是，它每分钟转动50周。
照这样的速度，这辆自行车1小时所行的路程是多少千米
2. 木工师傅要把一张边长为的方桌面改成一张最大的圆桌面，锯下的边角料的面积有多少平方米
3. 一块绿地的形状如下图中阴影部分所示，铺满这块绿地需要多少平方
4.
一个圆形花坛的直径是8m ，如果花坛的半径增加2m ，花坛的面积增加多少平方米
5. 一个运动场跑道，两边是半圆形，中间是长方形。
小飞站在A 点，小芳站在B 点，两人同时相向赛跑。
小飞几分钟能追上小芳。