• 2.2.4 IEEE754浮点数 IEEE754浮点数
1.格式 1.格式
类型
数 符
阶 码
8 11 15
尾数 总位 数
23 52 64 32 64 80
偏置值
7FH（127） 7FH（127） 3FFH（1023） 3FFH（1023） 3FFFH
短浮点数（ 短浮点数（单精 1 度） 长浮点数（ 长浮点数（双精 1 度） 临时/ 临时/扩展浮点数 1
注意：对于短、长浮点数采用隐含位为1 注意：对于短、长浮点数采用隐含位为1，故与真 采用隐含位为 值的关系如下： 值的关系如下：
表示真值 = (−1) ×1.m × 2
ms
E −偏置值
对于临时/扩展浮点数没有隐含位。 对于临时 扩展浮点数没有隐含位。 扩展浮点数没有隐含位
2.关于IEEE754表示方法的说明 2.关于IEEE754表示方法的说明 关于IEEE754 特殊数据： 特殊数据： 机器零的表示： （1）机器零的表示：全0； 无限大数的阶码为全1 尾数部分全0, 0,符号位 （2）无限大数的阶码为全1，尾数部分全0,符号位 指示正无穷或者负无穷。 指示正无穷或者负无穷。 一般在C/C++中 float对应单精度类型， 一般在C/C++中，float对应单精度类型， C/C++ 对应单精度类型 double对应双精度类型 对应双精度类型。 double对应双精度类型。
2
n
相当于符号位上的1 相当于符号位上的
故移码与其补码数值位相同，符号位相反。 故移码与其补码数值位相同，符号位相反。
3.移码的特点（总结） 3.移码的特点（总结） 移码的特点 符号位： （1）符号位：+：1，-：0； 真值最小； 真值最大； （2）全0时，真值最小；全1时，真值最大； 的表示唯一； （3）0的表示唯一； 与补码的关系（数值，符号） （4）与补码的关系（数值，符号） 关于偏置量的说明： 关于偏置量的说明： 偏置量往往根据移码值的范围来确定，不唯一， 偏置量往往根据移码值的范围来确定，不唯一， 如在IEEE754标准中， 位阶码的偏移量取127 IEEE754标准中 127。 如在IEEE754标准中，8位阶码的偏移量取127。
最小负尾数 × 2
最大阶码
最大正尾数 × 2
0
最大阶码
最大负尾数 × 2
最小阶码
最小正尾数 × 2
最小阶码
问题：
• 最大负数如何表示？
3.规格化浮点数 3.规格化浮点数 目的：为提高浮点数的精度， （1）目的：为提高浮点数的精度，充分利用 尾数的有效位 如0.0001011可表示为 0.0001011可表示为 非规格化） ①0.001011x2-1 （非规格化） ②0.01011x2-2 （非规格化） 非规格化） 规格化） ③0.1011x2-3 （规格化） 形式：尾数最高位必须是一个有效数值， 形式：尾数最高位必须是一个有效数值， 即其绝对值应大于等于(0.5) 即其绝对值应大于等于(0.5)10。
=0，阶码的数值位为全1 =1， 当es=0，阶码的数值位为全1；ms=1，尾 数的数值位为全0 即阶码为最大正数， 数的数值位为全0（即阶码为最大正数，尾 数为绝对值最大的负数） 数为绝对值最大的负数）时，该浮点数为 绝对值最大负数： 绝对值最大负数： 2k −1 X绝对 将十进制数16.5转换成IEEE754 16.5转换成IEEE754标准的短浮 1将十进制数16.5转换成IEEE754标准的短浮 点数表示。 点数表示。
(16.5)10=(10000.1)2=1.00001X24 表示形式： 表示形式：0 10000011 000010……00000
=1， =0，尾数的最高位m =1， 当es=1，ms=0，尾数的最高位m1=1，其 余各位为0 余各位为0时，该浮点数为规格化的最小 正数： 正数： X规格化的最小正数=2-1× 2 −2k 规格化的最小正数大于非规格化的最 小正数。 小正数。
浮点数的典型值(阶码、尾数均为补码表示)
• 2.2.3阶码的移码表示法 2.2.3阶码的移码表示法
注意：浮点数尾数为0 注意：浮点数尾数为0或阶码值比能
在机器中表示的最小值还小时， 在机器中表示的最小值还小时，认为该 数是机器零。 数是机器零。
2. 表示范围
=0， =0， 当es=0，ms=0，阶码和尾数的数值位各位 全为1 即阶码和尾数都为最大正数） 全为1（即阶码和尾数都为最大正数）时，该 浮点数为最大正数： 浮点数为最大正数： 2 k −1 - n) × =(1X最大正数=(1-2 2 =1， =0，尾数的最低位m =1， 当es=1，ms=0，尾数的最低位mn=1，其余各 位为0 即阶码为绝对值最大的负数， 位为0（即阶码为绝对值最大的负数，尾数为 最小正数） 该浮点数为最小正数： 最小正数）时，该浮点数为最小正数： −2 k X最小正数=2-n× 2
在计算机中阶码一般用补码或移码表示。 在计算机中阶码一般用补码或移码表示。移码 就是在真值X上加一个常数（偏置值），相当于X ），相当于 就是在真值X上加一个常数（偏置值），相当于X 在数轴上向正方向平移了一段距离，这就是“ 在数轴上向正方向平移了一段距离，这就是“移 一词的来由。 码”一词的来由。 1.表示方法 1.表示方法 X ]移 = 2n +X (-2n ≤ X<2n ) 定义移码为： 定义移码为： [ 偏置值+X 即 [X]移=偏置值+X 对于字长8位的定点整数，偏置值为2 对于字长8位的定点整数，偏置值为27。
2.2.2 浮点表示法
1. 表示形式
小数点的位置根据需要而浮动， 小数点的位置根据需要而浮动，这就 是浮点数。例如： 是浮点数。例如： N=M× N=M×rE 式中： 为浮点数阶码的底， 式中：r为浮点数阶码的底，与尾数的 基数相同，通常r= r=2 基数相同，通常r=2。E和M都是带符号数 叫做阶码， 叫做尾数。 ，E叫做阶码，M叫做尾数。在大多数计算 机中，尾数为纯小数 纯小数， 机中，尾数为纯小数，常用原码或补码表 阶码为纯整数 纯整数， 示；阶码为纯整数，常用移码或补码表示 。
尾数用补码表示时， （3）在尾数用补码表示时，规格化浮点数应满 =1）， 足尾数最高数位与符号位不同（ms⊕m1 =1）， 尾数最高数位与符号位不同（ 即当1/2≤M＜1时，应有0.1xx…x形式，当 即当1/2≤ 应有0.1xx…x形式， 1/2 0.1xx…x形式 -1≤M＜-1/2时，应有1.0xx…x形式。 1/2时 应有1.0xx…x形式。 1.0xx…x形式 需要注意的是当M=-1/2，对于原码来说， 需要注意的是当M=-1/2，对于原码来说， M= 是规格化数，而对于补码来说，不是规格化数。 是规格化数，而对于补码来说，不是规格化数。
2.与补码的关系 2.与补码的关系 由补码、移码的公式可以得到以下关系式： 由补码、移码的公式可以得到以下关系式：
[ X ]移
2n +X=2n + [ X ]补 = n n+1 n n 2 +X=(2 +X) − 2 = [ X ]补 − 2
0 ≤ X<2n -2 ≤ X<0
n
由于
4+127
2将IEEE754标准的短浮点数 IEEE754标准的短浮点数 010010……00000转换成十进制数 00000转换成十进制数 1 10000010 010010 00000
−2n
真值区间 移码区间
2n − 1
2n
2n+1 − 1
例1：X=1011101 ： [X]移= 27 +X=10000000+1011101 移 =11011101 [X]补=01011101 补 例2：X=-1011101 ： [X]移= 27 +X=10000000-1011101 移 =00100011 [X]补=10100011 补
3.溢出的概念 3.溢出的概念
当发生“下溢” 处理； 当发生“下溢”时，均被当做机器0处理； 均被当做机器 处理 当发生“溢出” 当发生“溢出”时，计算机将暂时中断运算 操作，去进行溢出处理。 操作，去进行溢出处理。
说明： 说明：
• 对于只能处理定点数的计算机称为定点计算 机。 • 当处理的数不是纯小数或纯整数时，需要设 当处理的数不是纯小数或纯整数时， 定比例因子， 定比例因子，把原始数据缩小成定点小数或 扩大为定点整数。 扩大为定点整数。 • 比例因子选取比较重要，确保初始数据、中 比例因子选取比较重要，确保初始数据、 间结果及最后结果在表示范围内而不溢出。 间结果及最后结果在表示范围内而不溢出。
（2）尾数用原码表示的规格化形式 ①尾数为正数，其形式为：0.1XX….X 尾数为正数，其形式为： 最大： 真值< 最大：0.111…1 真值< 1 最小： 真值= 最小：0.100…0 真值= 1/2 尾数为负数，其形式为： ②尾数为负数，其形式为：1.1XX….X 最大： 真值= 最大：1.100…0 真值= -1/2 最小： 真值> 最小：1.111…1 真值> -1
浮点数的一般格式
1位 es k位 e 阶码部分E 1位 ms n位 m 尾数部分M
图2-5 浮点数的一般格式
浮点数的底是隐含的， 浮点数的底是隐含的，在整个机器 数中不出现。阶码的符号位为e 数中不出现。阶码的符号位为es，阶码的 大小反映了在数N中小数点的实际位置； 大小反映了在数N中小数点的实际位置； 尾数的符号位为m 尾数的符号位为ms，它是整个浮点数的符 号位，表示了该浮点数的正负。 号位，表示了该浮点数的正负。