全等三角形一、全等三角形1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

特征：形状相同、大小相等、完全重合。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

平移、翻折、旋转前后的图形全等。

2、全等三角形的表示：“全等”用“≌”表示，“∽”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。

注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角3、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

4、全等三角形的判定（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）（3（4（551、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、（判定）角的部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意的问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。

1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ．求证∠A=∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D.５．如图，AD ＝BC ，AB ＝DC ，DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.ADC B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC ，OB=OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。

求证：△AFD ≌△CEB ．6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。

求证：△ABD ≌△ACE ．7．已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ∥DE ，且AB=DE ，BE=CF. 求证：AC ∥DF ．ACEDBAE BC FD A B C D 2 A C B ED18．已知：如图，AD是BC上的中线，且DF=DE．求证:BE∥CF．9．如图，在△ABC中，分别延长中线BE、CD至F、H，使EF＝BE，DH＝CD，连结AF、AH．求证：（1）AF＝AH；（2）点A、F、H三点在同一直线上；（3）HF∥BC.10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连结AD、BF，CF＝CD. 求证：BF＝AD，BF⊥AD.11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．13.已知：如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：(1)AE=BF；（2）AE⊥BF.14．已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）15.如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900. （1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系. A DEF（三）（四）三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的长．3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.求证：AE=CE.4．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB.5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于点F，过F作FD∥BC交AB于点D. 求证：AC＝AD.ADBCFEA B C DEP QN M6．如图，AD ∥BC ，AB ∥DC ，MN ＝PQ. 求证：DE ＝BE.7．如图, 在ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分B ，DE ⊥BC 于E ，且BE ＝EC.（1）求∠ABC 与∠C 的度数； （2）求证：BC ＝2AB.8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 上一点，且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC. （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：E 是CD 的中点； （3）求证：AD+BC=AB.9．已知，如图Rt △ABC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，D 为垂足，∠ABD 的平分线交AD 于E 点，EF ∥AC ，求证：AE=EF.CE A D ABC ED F10．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC.（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN.（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N. 问DM和DN有何数量关系？11．已知：C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x轴于B.（1）求证：CA＝CB；12．已知A（－4，0），B（0，4），C（0，－4），过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。

（1）求证：OM＝ON；（2）连MN，MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3，求M与N的坐标。

（五） 三角形全等的判定五（HL ）1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高．求证：(1)BD=CD ；(2)∠BAD ＝∠CAD ．2．如图，AC ⊥CB ，DB ⊥CB ，AB ＝DC ．求证：∠ABD ＝∠ACD ．3．已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =． 求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．4．如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC5．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF ． 求证：AD 是△ABC 的角平分线．AD ECBF（六）角的平分线的性质1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC．求证∠1=∠2．2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．4．如图，在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.（1）求∠ABC与∠C的度数；（2）求证：BC＝2AB.（七）倍长中线法与截长补短法1．在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 为BC 边的中线，则AD 的长的取值围是（ ）. A.1<<4B.3<<5C.2<<3D.0<<52．AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB=4，AC=6，则AD 的取值围是 .3．如图，△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系；（2）探索DC 与BE 的夹角的大小；（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系.4．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 上一点，且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC.（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：E 是CD 的中点；（3）求证：AD+BC=AB.5．如图△ABC 中，∠A=500，AB>AC ，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE ，BE 、CD 相交于O 点，求∠BOC 的度数.6．△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，E 在AB 边上，F 在AC 边上，判断并证明BE+CF 与EF 的大小？. C E A D7．已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2， 求证：BC=AB+AD ．（分别用截长法和补短法各证一次）8．已知，如图，在正方形ABCD 中AB=AD ，∠B ＝∠D ＝90°．（1）如果BE ＋DF ＝EF ，求证：①∠EAF ＝45°；②FA 平分∠DFE ．（2）如果∠EAF ＝45°，求证：①BE ＋DF ＝EF ．②FA 平分∠DFE ．（3）如果点F 在DC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，且DF －BE ＝EF ，求证：①∠EAF ＝45°；②FA 平分∠DFE ．（画图并证明）A2 1 CB DAB C D EF （八） 全等三角形检测一、选择题：1.在△ABC 、△DEF 中如果∠C=∠D ，∠B=∠E ，要使△ABC ≌△FED ，还需要的条件是（ ）A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F2.如图：AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F 点，那么图中全等三角形共有（ ）A.5对B.6对C.7对D.8对3.如图，D 在AB 上，E 在AC 上且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC4.如图：某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去5.下列说法中，正确的个数是（ ）①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。